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[SPAM] [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
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Smolka, pra facilitar fa=E7a w=3Dx+3 que fica w^3 +kw^2 - 4w - 4 =3D 0.
Use Cardano pra ver que todas as raizes s=E3o reais.
Ojesed
----- Original Message -----=20
From: J. R. Smolka=20
To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx=20
Sent: Tuesday, May 13, 2008 9:56 AM
Subject: Re: [obm-l] Polin=F4mios de vari=E1vel complexa
Primeiramente obrigado =E0 Alane e ao Ralph pelas sugest=F5es. Vamos =
por partes:
A Alane lembrou que se z =E9 uma raiz do polin=F4mio, ent=E3o o =
conjugado complexo de z tamb=E9m ser=E1 raiz. N=E3o tenho certeza =
absoluta, mas acho que este princ=EDpio se mant=E9m para fun=E7=F5es =
polinomiais de C em C.
O Ralph fez uma an=E1lise como se o polin=F4mio fosse fun=E7=E3o de R =
em R, que n=E3o =E9 o caso. Mas me deu algumas id=E9ias sobre como =
atacar o problema. At=E9 agora estou apenas no n=EDvel qualitativo. =
Depois vou tentar resolver a =E1lgebra (a menos que algu=E9m me mostre =
que esta linha de racioc=EDnio n=E3o tem futuro :-)). O que estou =
pensando =E9:
1) Se k=3D0, P(x) tem tr=EAs ra=EDzes reais em x=3D-1, x=3D-3 e =
x=3D-5.
2) Deve existir uma faixa de valores 0<k<=3Dk1 para a qual P(x) ainda =
apresenta tr=EAs ra=EDzes reais, que v=E3o "excursionar" em algum trecho =
do semi-eixo real negativo. A investigar: (a) Qual o valor de k1? =
(estudo de m=E1ximos/m=EDnimos/inflex=F5es via P'(x)=3D0 deve ajudar =
nisso); (b) qual(is) intervalo(s) do semi-eixo real negativo =E9(s=E3o) =
percorrido(s) pelas ra=EDzes?
3) Se k>k1 ent=E3o deve continuar a existir uma raiz real (que =
tamb=E9m "excursiona" no semi-eixo real negativo) e um par de ra=EDzes =
complexas conjugadas. Sobre a raiz real a pergunta =E9: qual o seu =
intervalo de excurs=E3o? Sobre as ra=EDzes complexas o racioc=EDnio =E9 =
mais longo...
4) Temos que P(x)=3Dx^3+(k+9)x^2+(6k+23)x+(8k+15). Se z=3Dr.e^(i.a) =
=E9 raiz de P(x), ent=E3o =
r^3.e^(i.3a)+(k+9)r^2.e^(i.2a)+(6k+23)r.e^(i.a)+(8k+15)=3D0. Ent=E3o =
temos quatro componentes, com argumentos complexos 0 (n=FAmero real), a, =
2a e 3a. De cara enxergo como "candidatos" a raiz os n=FAmeros complexos =
na forma z=3Dr.e^(i.pi/2), onde o valor de r depende de k. Desta forma, =
o componente de argumento complexo 2a=3D2.pi/2=3Dpi pode anular o =
componente de argumento complexo 0, e o componente de argumento complexo =
3a=3D3.pi/2 pode anular o componente de argumento complexo a=3Dpi/2. Se =
isto realmente for poss=EDvel (tenho que verificar a =E1lgebra), ent=E3o =
z excursiona em um intervalo do semi-eixo imagin=E1rio positivo, com =
este intervalo limitado em (pelo menos) um valor que =E9 fun=E7=E3o de =
k1, e o seu conjugado complexo vai ter um comportamento "espelhado" no =
semi-eixo imagin=E1rio negativo.
Ent=E3o minha primeira vis=E3o (qualitativa) para o lugar geom=E9trico =
procurado =E9: um conunto de intervalos (possivelmente cont=EDnuos ou =
parcialmente sobrepostos) no semi-eixo real negativo, um intervalo =
(talvez finito) no semi-eixo imagin=E1rio positivo e o seu "espelho" no =
semi-eixo imagin=E1rio negativo.
Cr=EDticas? Sugest=F5es?
[ ]'s
Esta quest=E3o foi da prova de =E1lgebra do IME 1976/1977. Vou =
transliterar um pouco o enunciado.
Seja P(x)=3D(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real =
positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geom=E9trico das ra=EDzes =
de P(x)=3D0 para todos os valores poss=EDveis de k.
Tentei o seguinte: se z=3Da+bi =E9 raiz de P(x), ent=E3o P(z)=3D0, o =
que implica que Re[P(z)]=3D0 e Im[P(z)]=3D0, ent=E3o daria para obter =
express=F5es em fun=E7=E3o de a e b que descrevessem o lugar =
geom=E9trico procurado. S=F3 que as express=F5es parecem intrat=E1veis.
J. R. Smolka=20
------=_NextPart_000_008E_01C8B525.B90F3C60
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<A title=3Dsmolka@xxxxxxxxxxxx href=3D"mailto:smolka@xxxxxxxxxxxx";>J. =
R.=20
Smolka</A> </DIV>
<DIV style=3D"FONT: 10pt arial"><B>To:</B> <A =
title=3Dobm-l@xxxxxxxxxxxxxx=20
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<DIV style=3D"FONT: 10pt arial"><B>Subject:</B> Re: [obm-l] =
Polin=F4mios de=20
vari=E1vel complexa</DIV>
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sugest=F5es.=20
Vamos por partes:<BR><BR>A Alane lembrou que se z =E9 uma raiz do =
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ent=E3o o conjugado complexo de z tamb=E9m ser=E1 raiz. N=E3o tenho =
certeza absoluta,=20
mas acho que este princ=EDpio se mant=E9m para fun=E7=F5es polinomiais =
de C em=20
C.<BR><BR>O Ralph fez uma an=E1lise como se o polin=F4mio fosse =
fun=E7=E3o de R em R,=20
que n=E3o =E9 o caso. Mas me deu algumas id=E9ias sobre como atacar o =
problema. At=E9=20
agora estou apenas no n=EDvel qualitativo. Depois vou tentar resolver =
a =E1lgebra=20
(a menos que algu=E9m me mostre que esta linha de racioc=EDnio n=E3o =
tem futuro=20
:-)). O que estou pensando =E9:<BR><BR>1) Se k=3D0, P(x) tem tr=EAs =
ra=EDzes reais em=20
x=3D-1, x=3D-3 e x=3D-5.<BR><BR>2) Deve existir uma faixa de valores=20
0<k<=3Dk<FONT size=3D1>1</FONT> para a qual P(x) ainda apresenta =
tr=EAs ra=EDzes=20
reais, que v=E3o "excursionar" em algum trecho do semi-eixo real =
negativo. A=20
investigar: (a) Qual o valor de k<FONT size=3D1>1</FONT>? (estudo de=20
m=E1ximos/m=EDnimos/inflex=F5es via P'(x)=3D0 deve ajudar nisso); (b) =
qual(is)=20
intervalo(s) do semi-eixo real negativo =E9(s=E3o) percorrido(s) pelas =
ra=EDzes?<BR><BR>3) Se k>k<FONT size=3D1>1</FONT> ent=E3o deve =
continuar a=20
existir uma raiz real (que tamb=E9m "excursiona" no semi-eixo real =
negativo) e=20
um par de ra=EDzes complexas conjugadas. Sobre a raiz real a pergunta =
=E9: qual o=20
seu intervalo de excurs=E3o? Sobre as ra=EDzes complexas o =
racioc=EDnio =E9 mais=20
longo...<BR><BR>4) Temos que P(x)=3Dx^3+(k+9)x^2+(6k+23)x+(8k+15). Se=20
z=3Dr.e^(i.a) =E9 raiz de P(x), ent=E3o=20
r^3.e^(i.3a)+(k+9)r^2.e^(i.2a)+(6k+23)r.e^(i.a)+(8k+15)=3D0. Ent=E3o =
temos quatro=20
componentes, com argumentos complexos 0 (n=FAmero real), a, 2a e 3a. =
De cara=20
enxergo como "candidatos" a raiz os n=FAmeros complexos na forma =
z=3Dr.e^(i.pi/2),=20
onde o valor de r depende de k. Desta forma, o componente de argumento =
complexo 2a=3D2.pi/2=3Dpi pode anular o componente de argumento =
complexo 0,=20
e o componente de argumento complexo 3a=3D3.pi/2 pode anular o =
componente de=20
argumento complexo a=3Dpi/2. Se isto realmente for poss=EDvel (tenho =
que verificar=20
a =E1lgebra), ent=E3o z excursiona em um intervalo do semi-eixo =
imagin=E1rio=20
positivo, com este intervalo limitado em (pelo menos) um valor que =E9 =
fun=E7=E3o de=20
k<FONT size=3D1>1</FONT>, e o seu conjugado complexo vai ter um =
comportamento=20
"espelhado" no semi-eixo imagin=E1rio negativo.<BR><BR>Ent=E3o minha =
primeira=20
vis=E3o (qualitativa) para o lugar geom=E9trico procurado =E9: um =
conunto de=20
intervalos (possivelmente cont=EDnuos ou parcialmente sobrepostos) no =
semi-eixo=20
real negativo, um intervalo (talvez finito) no semi-eixo imagin=E1rio =
positivo e=20
o seu "espelho" no semi-eixo imagin=E1rio negativo.<BR><BR>Cr=EDticas? =
Sugest=F5es?<BR><BR>[ ]'s<BR><BR>
<BLOCKQUOTE class=3Dcite cite=3D"" type=3D"cite">Esta quest=E3o foi da =
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=E1lgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o =
enunciado.<BR>Seja=20
P(x)=3D(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real =
positivo. Desenhar=20
no plano complexo o lugar geom=E9trico das ra=EDzes de =
P(x)=3D0 para todos=20
os valores poss=EDveis de k.<BR>Tentei o seguinte: se z=3Da+bi =E9 =
raiz de P(x),=20
ent=E3o P(z)=3D0, o que implica que Re[P(z)]=3D0 e Im[P(z)]=3D0, =
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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