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[SPAM] Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
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--=====================_8422640==.ALT
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Primeiramente obrigado =E0 Alane e ao Ralph pelas sugest=F5es. Vamos por=
partes:
A Alane lembrou que se z =E9 uma raiz do polin=F4mio,=20
ent=E3o o conjugado complexo de z tamb=E9m ser=E1 raiz.=20
N=E3o tenho certeza absoluta, mas acho que este=20
princ=EDpio se mant=E9m para fun=E7=F5es polinomiais de C em C.
O Ralph fez uma an=E1lise como se o polin=F4mio fosse=20
fun=E7=E3o de R em R, que n=E3o =E9 o caso. Mas me deu=20
algumas id=E9ias sobre como atacar o problema. At=E9=20
agora estou apenas no n=EDvel qualitativo. Depois=20
vou tentar resolver a =E1lgebra (a menos que algu=E9m=20
me mostre que esta linha de racioc=EDnio n=E3o tem=20
futuro :-)). O que estou pensando =E9:
1) Se k=3D0, P(x) tem tr=EAs ra=EDzes reais em x=3D-1, x=3D-3 e x=3D-5.
2) Deve existir uma faixa de valores 0<k<=3Dk1 para=20
a qual P(x) ainda apresenta tr=EAs ra=EDzes reais,=20
que v=E3o "excursionar" em algum trecho do=20
semi-eixo real negativo. A investigar: (a) Qual o=20
valor de k1? (estudo de m=E1ximos/m=EDnimos/inflex=F5es=20
via P'(x)=3D0 deve ajudar nisso); (b) qual(is)=20
intervalo(s) do semi-eixo real negativo =E9(s=E3o) percorrido(s) pelas=
ra=EDzes?
3) Se k>k1 ent=E3o deve continuar a existir uma=20
raiz real (que tamb=E9m "excursiona" no semi-eixo=20
real negativo) e um par de ra=EDzes complexas=20
conjugadas. Sobre a raiz real a pergunta =E9: qual=20
o seu intervalo de excurs=E3o? Sobre as ra=EDzes=20
complexas o racioc=EDnio =E9 mais longo...
4) Temos que P(x)=3Dx^3+(k+9)x^2+(6k+23)x+(8k+15).=20
Se z=3Dr.e^(i.a) =E9 raiz de P(x), ent=E3o=20
r^3.e^(i.3a)+(k+9)r^2.e^(i.2a)+(6k+23)r.e^(i.a)+(8k+15)=3D0.=20
Ent=E3o temos quatro componentes, com argumentos=20
complexos 0 (n=FAmero real), a, 2a e 3a. De cara=20
enxergo como "candidatos" a raiz os n=FAmeros=20
complexos na forma z=3Dr.e^(i.pi/2), onde o valor=20
de r depende de k. Desta forma, o componente de=20
argumento complexo 2a=3D2.pi/2=3Dpi pode anular o=20
componente de argumento complexo 0, e o=20
componente de argumento complexo 3a=3D3.pi/2 pode=20
anular o componente de argumento complexo a=3Dpi/2.=20
Se isto realmente for poss=EDvel (tenho que=20
verificar a =E1lgebra), ent=E3o z excursiona em um=20
intervalo do semi-eixo imagin=E1rio positivo, com=20
este intervalo limitado em (pelo menos) um valor=20
que =E9 fun=E7=E3o de k1, e o seu conjugado complexo=20
vai ter um comportamento "espelhado" no semi-eixo imagin=E1rio negativo.
Ent=E3o minha primeira vis=E3o (qualitativa) para o=20
lugar geom=E9trico procurado =E9: um conunto de=20
intervalos (possivelmente cont=EDnuos ou=20
parcialmente sobrepostos) no semi-eixo real=20
negativo, um intervalo (talvez finito) no=20
semi-eixo imagin=E1rio positivo e o seu "espelho"=20
no semi-eixo imagin=E1rio negativo.
Cr=EDticas? Sugest=F5es?
[ ]'s
>Esta quest=E3o foi da prova de =E1lgebra do IME=20
>1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado.
>Seja P(x)=3D(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x=20
>complexo e k real positivo. Desenhar no plano=20
>complexo o lugar geom=E9trico das ra=EDzes de=20
>P(x)=3D0 para todos os valores poss=EDveis de k.
>Tentei o seguinte: se z=3Da+bi =E9 raiz de P(x),=20
>ent=E3o P(z)=3D0, o que implica que Re[P(z)]=3D0 e=20
>Im[P(z)]=3D0, ent=E3o daria para obter express=F5es em=20
>fun=E7=E3o de a e b que descrevessem o lugar=20
>geom=E9trico procurado. S=F3 que as express=F5es parecem intrat=E1veis.
J. R. Smolka =20
--=====================_8422640==.ALT
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Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
<html>
<body>
Primeiramente obrigado =E0 Alane e ao Ralph pelas sugest=F5es. Vamos por
partes:<br><br>
A Alane lembrou que se z =E9 uma raiz do polin=F4mio, ent=E3o o conjugado
complexo de z tamb=E9m ser=E1 raiz. N=E3o tenho certeza absoluta, mas acho q=
ue
este princ=EDpio se mant=E9m para fun=E7=F5es polinomiais de C em C.<br><br>
O Ralph fez uma an=E1lise como se o polin=F4mio fosse fun=E7=E3o de R em R, =
que
n=E3o =E9 o caso. Mas me deu algumas id=E9ias sobre como atacar o problema. =
At=E9
agora estou apenas no n=EDvel qualitativo. Depois vou tentar resolver a
=E1lgebra (a menos que algu=E9m me mostre que esta linha de racioc=EDnio n=
=E3o
tem futuro :-)). O que estou pensando =E9:<br><br>
1) Se k=3D0, P(x) tem tr=EAs ra=EDzes reais em x=3D-1, x=3D-3 e=
x=3D-5.<br><br>
2) Deve existir uma faixa de valores 0<k<=3Dk<font size=3D1>1</font>
para a qual P(x) ainda apresenta tr=EAs ra=EDzes reais, que v=E3o
"excursionar" em algum trecho do semi-eixo real negativo. A
investigar: (a) Qual o valor de k<font size=3D1>1</font>? (estudo de
m=E1ximos/m=EDnimos/inflex=F5es via P'(x)=3D0 deve ajudar nisso); (b) qual(i=
s)
intervalo(s) do semi-eixo real negativo =E9(s=E3o) percorrido(s) pelas
ra=EDzes?<br><br>
3) Se k>k<font size=3D1>1</font> ent=E3o deve continuar a existir uma rai=
z
real (que tamb=E9m "excursiona" no semi-eixo real negativo) e um
par de ra=EDzes complexas conjugadas. Sobre a raiz real a pergunta =E9: qual
o seu intervalo de excurs=E3o? Sobre as ra=EDzes complexas o racioc=EDnio =
=E9
mais longo...<br><br>
4) Temos que P(x)=3Dx^3+(k+9)x^2+(6k+23)x+(8k+15). Se z=3Dr.e^(i.a) =E9 raiz=
de
P(x), ent=E3o r^3.e^(i.3a)+(k+9)r^2.e^(i.2a)+(6k+23)r.e^(i.a)+(8k+15)=3D0.
Ent=E3o temos quatro componentes, com argumentos complexos 0 (n=FAmero real)=
,
a, 2a e 3a. De cara enxergo como "candidatos" a raiz os n=FAmeros
complexos na forma z=3Dr.e^(i.pi/2), onde o valor de r depende de k. Desta
forma, o componente de argumento complexo 2a=3D2.pi/2=3Dpi pode anula=
r
o componente de argumento complexo 0, e o componente de argumento
complexo 3a=3D3.pi/2 pode anular o componente de argumento complexo a=3Dpi/2=
.
Se isto realmente for poss=EDvel (tenho que verificar a =E1lgebra), ent=E3o =
z
excursiona em um intervalo do semi-eixo imagin=E1rio positivo, com este
intervalo limitado em (pelo menos) um valor que =E9 fun=E7=E3o de
k<font size=3D1>1</font>, e o seu conjugado complexo vai ter um
comportamento "espelhado" no semi-eixo imagin=E1rio
negativo.<br><br>
Ent=E3o minha primeira vis=E3o (qualitativa) para o lugar geom=E9trico
procurado =E9: um conunto de intervalos (possivelmente cont=EDnuos ou
parcialmente sobrepostos) no semi-eixo real negativo, um intervalo
(talvez finito) no semi-eixo imagin=E1rio positivo e o seu
"espelho" no semi-eixo imagin=E1rio negativo.<br><br>
Cr=EDticas? Sugest=F5es?<br><br>
[ ]'s<br><br>
<blockquote type=3Dcite class=3Dcite cite=3D"">Esta quest=E3o foi da prova d=
e
=E1lgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado.<br>
Seja P(x)=3D(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo.
Desenhar no plano complexo o lugar geom=E9trico das ra=EDzes de P(x)=
=3D0
para todos os valores poss=EDveis de k.<br>
Tentei o seguinte: se z=3Da+bi =E9 raiz de P(x), ent=E3o P(z)=3D0, o que imp=
lica
que Re[P(z)]=3D0 e Im[P(z)]=3D0, ent=E3o daria para obter express=F5es em fu=
n=E7=E3o
de a e b que descrevessem o lugar geom=E9trico procurado. S=F3 que as
express=F5es parecem
intrat=E1veis.</blockquote><font face=3D"trebuchet MS" size=3D2><br>
</font><x-sigsep><p></x-sigsep>
<font size=3D4><b>J. R. Smolka</b></font> </body>
</html>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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