Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

["Bernardo Freitas Paulo da Costa" <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Oi Arthur,

Eu resolvi "brincar" com o limite, e o último termo me chamou atenção
porque ele é o "termo de Stirling" : temos que lim n->inf n^n/(n!
e^(n) raiz(n)) = 1/raiz(2 pi). Calculando os quocientes entre cada um
dos termos da soma (e invertendo a ordem) temos

(n^(n-k)/(n-k)!) / (n^(n-k-1)/(n-k-1)! ) = (n - k - 1)/n = 1 - (k+1)/n

1 + 1 (esses são os dois últimos termos, que são iguais !)
+ (1 - 1/n )
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)
+ ...
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)...(1/n)

Repare que quando o fator ficar "significativamente" menor do que
1/raiz(n) a gente já pode parar de fazer as contas (porque tem um
raiz(n) que tá sobrando no denominador, e a soma tem n termos no
total, logo os termos << 1/raiz(n) mesmo somados tendem a zero.

Eu estou parado aqui... mas talvez tenha uma dica para o TLC : usando
o limite que eu dei (e você dizer que o limite é 1/2) provar o limite
é equivalente a provar que
lim n -> inf ( 1/raiz(n) \sum_0^n (n,k) k!/n^k ) ) = \raiz(pi/2) onde
(n,k) é o coeficiente binomial.

Repare que se não fosse o k!, a gente teria a soma de Euler que
convergiria para e/raiz(n). Mas justamente o k! faz "aumentar" o fim
da soma. Estou até agora tentando achar uma convolução ou coisa do
gênero para fazer aparecer o k!


2008/4/2 Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>:
>
>
>
>
> Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções,
> mas não deu certo.
>
> Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não
> consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o
> teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não
> consegui ver como.
>
> Alguem tem alguma sugestao?
>
> Abracos
> Artur



-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================