Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

["Rogerio Ponce" <abrlwsky@xxxxxxxxx>]

Ola' pessoal,
(repassando o material que o Luis Lopes me mandou...)

Vou utilizar as seguintes convencoes para Somatorio, Integral e Limite:
    Sum{k:1,n}{k} = n*(n+1)/2
    Int{0,a}{t*dt} = a**2/2
    Lim{n->oo}{1/n} = 0


Assim, o problema e' provar que
Lim{n->oo}{ e**-n * Sum{k:0,n}{n**k/k!} } = 1/2


Por integracao elementar, sabemos que, para r>=1,
1/r! * Int{0,L}{ t**r * e**-t * dt } =
-1/r! * L**r * e**-L  +
1/(r-1)! * Int{0,L}{ t**(r-1) * e**-t * dt }

Repare que a 2a parcela pode ser novamente desmembrada,
de forma que o termo em "r" seja sucessivamente reduzido,
formando uma serie de integrais.

Repare tambem que (este aqui correspondera' ao ultimo termo desta serie)
Int{0,L}{ e**-t * dt } = 1 - e**-L

Assim, podemos reescrever aquela expressao da seguinte forma:
1/r! * Int{0,L}{ t**r * e**-t * dt } =
1 - e**-L * Sum{k:0,r}{ L**k / k! }

Fazendo r=L=n obtemos (repare que e' a expressao que queremos avaliar)
e**-n * Sum{k:0,n}{n**k/k!} =
1 - 1/n! * Int{0,n}{ t**n * e**-t * dt }

Para calular essa integral, substituimos t=n*(1+u), conseguindo:
Int{0,n}{ t**n * e**-t * dt} =
Int{-1,0}{ e**[n*(log n + log(1+u) - (1+u))] * n * du } =
n * (n/e)**n * Int{-1,0}{ e**[n * (log(1+u) - u)] * du }

Aplicando o metodo de Laplace (argumentos assintoticos) sobre a ultima
integral, vemos que
Int{-1,0}{ e**[n * (log(1+u) - u)] * du } ~
Int{-oo,0}{ e**[-n * u**2 / 2 ] * du } =
sqrt(2*pi/n) / 2

Logo,
Int{0,n}{ t**n * e**-t * dt} ~
(n/e)**n * sqrt(2*pi*n) / 2 =
n!/2  (Stirling)

Portanto,
Lim{n->oo}{ e**-n * Sum{k:0,n}{n**k/k!} } =
1 - 1/n! * n!/2 = 1/2

CQD

[]'s
Rogerio Ponce

PS: Sugiro a leitura de
http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_steepest_descent


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2008/4/2 Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>:
>
>
>
>
> Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções,
> mas não deu certo.
>
> Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não
> consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o
> teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não
> consegui ver como.
>
> Alguem tem alguma sugestao?
>
> Abracos
> Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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