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Re: [obm-l] Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica.... off-topic

Caro Fernando,

E eu que achava que tinha alguma chance de deter o título de "quase o mais antigo da lista"...   Nem com o "quase".  Tola pretensão... 

Gostaria de fazer apenas um comentário (além de naturalmente ter me sentido lisongeado pela citação à navalha de Occan, esperando que os mais jovens não pensem se tratar de um concorrente da Gillete...).

Como esta lista é aberta, é natural que diversos temas mais especializados não possam ser abordados de forma a que todos o comprendam.  Eu mesmo, embora tenha tido formação em Matemática (além da Engenharia Elétrica) ando de fato enferrujado.  Já houve época (há uns 35/40 anos, quando eu frequentava o IMPA) em que eu dominava para valer assuntos como Análise Real, Topologia, Álgebra Linear (de verdade...), Álgebra (estruturas, não a álgebra colegial), etc.

Mas, a verdade é que voltei a estudar, depois do meu último retorno à esta lista e isto foi ótimo.    Espero voltar a dominar pelo menos uns 50% do que eu dominava...  Mas não tenha dúvidas, esta lista é de longe a melhor lista da qual participo e se você (não vou chamá-lo de senhor!) desejar, poderemos conversar fora da Lista, e não será por falta de problemas que ficará triste... :-) 
 
Grande Abraço
Nehab

PS:
Nicolau e Santa Rita já responderam a sua indagação, com  enfoques diferentes, enriquecendo a todos.  Eu de minha parte, não consegui compreender se você usa o termo "aleatório" para significar "sem lei de formação aparente" (e foram por ai as respostas de ambos) ou em algum outro sentido.

At 09:53 13/8/2007, you wrote:
Caro Ojesed
Concordo com você quando diz que " Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível."   De certa maneira esta atitude inibe o  debate.
A mim parece que a lista engloba o que há de melhor na matemática brasileira.  Mas também concordo com o juizo que faz do Nehab, e enfatizo  sua capacidade de transmitir  conhecimento, de solucionar  problemas, com o mínimo de palavras e o máximo de clareza.  Como se usasse a navalha de Occan duas vezes, a primeira para barbear e a segunda para escanhoar.
Não sou matemático, sou um engenheiro aposentado, tenho 82 anos, mas gosto de garimpar pela lista, procurando problemas que estejam ao meu alcance, que , (devo admitir), são poucos.  
Uma vez manisfestei estranheza  quanto a ausência de qualquer referência aos númeroos aleatários, em clássicos de análise  que tratam da teoria do número real. Não obtive resposta. No entanto, aparentemente, esses números são os principais atores que justificam a não enumerabilidade dos números reais. Isso porque os inteiros, os racionais e os algébricos são enumerãveis como também os  transcendentes que requerem um algoritmo finito para sua descrição. Pergunto, o que resta são os números aleatórios? Existe uma abordagem para esses números fora do  cálculo das probablidades? 
Sds
Fernando A Candeias


 
Em 10/08/07, Ojesed Mirror <ojesed@uol.com.br > escreveu:
Olá Nehab, você é um educador como poucos pois consegue tratar assuntos desde o mais elementar, como este, até os que estão na fronteira do conhecimento com uma clareza invejável.
 
Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível.
 
Eu fico na dúvida se estou diante de pessoas que estão somente exibindo conhecimento ou se os assuntos estão sendo tratados da forma mais palatável possível e eu é que estou muito defasado da turma. Geralmente fico com a segunda opção.
 
O fato é que uma minoria de pessoas geniais participam ativamente das discussões e a maioria observa.
Se isto não fere o objetivo maior da existência desta lista, desculpem minha preocupação.
 
Sds, Ojesed
----- Original Message -----
From: Carlos Eddy Esaguy Nehab
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, August 10, 2007 9:00 AM
Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica....

 
Oi, Ojesed ,

At 02:04 10/8/2007, you wrote:
Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a "média harmônica ponderada", com as massas sendo os ponderadores ?
Sim, vale...  Veja:

A média harmônica das densidades, ponderadas pelas massas é, por definição: o inverso da média aritmética ponderada (pesos m1 e m2) dos inversos das densidades d1 e d2.  Ou seja:

É o inverso de  [ m1 x (1/d1) + m2 x (1/d2) ]  /  (m1 + m2)  
que vale (m1+m2) / [ (m1/d1 + m2/d2) ]

Mas esta expressão é exatamente a densidade média, pois é a massa total (m1+m2) dividida pelo volume total  (m1/d1 + m2/d2).

Abraços,
Nehab

----- Original Message -----
From: Carlos Eddy Esaguy Nehab
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM
Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA
Oi, Arkon, Ponce e Desejo...
Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta ótima resposta, fica aqui uma dica, pois problemas desta natureza já apareceram diversas vezes por aqui...
Quando se introduz o conceito de médias (mesmo na 6 ou 7 séries) é extremamente oportuno sugerir contextos onde elas ocorrem (para não parecer um negócio artificial) e a resposta do Ojesed mostra que ele já adquiriu a malicia que eu acho legal. 
Na Física a média harmônica ocorre com freqüência, pois ela é usual em todas as situações onde a grandeza da qual se deseja calcular a "média" é o quociente entre duas "variáveis"  e.... vejamos:  Velocidade é distância / tempo...  Densidade é massa / volume, resistência = "voltagem"/ corrente ...   Logo, se desejamos calcular velocidade média, densidade média, resistência equivalente, fatalmente a média harmônica entra na jogada (caso os valores das distâncias, volumes ou "voltagens" sejam iguais e isto ocorre na ligação em paralelo - como as voltagens não se somam, a resistência equivalente é o dobro da média harmônica...), posto que velocidade média = dist total / tempo total; densidade  final = massa total / volume total... e resistencia = "mesma voltagem" / corrente total
Vejamos um exemplinho  clássico (o outro é o do Arkon, posto que se misturam iguais quantidades de MASSA...)
"Você vai a 60 km por hora num trecho de estrada e no mesmo trecho volta a 90 km/h.  Qual sua velocidade média?"
Ora, você está querendo medir velocidade média, mas a variável "chave", que é o tempo, está no denominador das velocidades e as duas distâncias, de ida e de volta são iguais ...
Logo a velocidade média (vm) é a média harmônica.
Veja: vm =  distância total / tempo total = (d1 + d2) / (t1 + t2)       (A)
Ocorre que t1 =  d1 /v1  e  t2 = d2/v2
Levando estas expressoes em (A)  voce obtem
dist total / tempo total = (x + x) /  [x/v1 + x/v2]  =  2v1.v2  (v1+v2)   que é a média harmônica... 
Abraços,
Nehab

At 22:39 8/8/2007, you wrote:
A densidade total é a média harmônica das densidades parciais.
----- Original Message -----
From: arkon
To: obm-l
Sent: Wednesday, August 08, 2007 10:49 AM
Subject: [obm-l] BETONEIRA
Alguém pode resolver esta, por favor:

Uma betoneira está sendo preparada para produzir concreto. Receberá iguais quantidades, em massa, de areia, cimento e brita de densidades iguais a 1,5; 1,3 e 2,4, respectivamente. Calcular a densidade do concreto que vai ser produzido pela betoneira. Multiplique o resultado por 10 e despreze a parte fracionária, caso exista.

DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
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Fernando A Candeias