Re: [obm-l] Re: [obm-l] BETO NEIRA e a m�dia harm�nica....

Em 10/08/07, Ojesed Mirror <ojesed@uol.com.br > escreveu:

Ol� Nehab, voc� � um educador como poucos pois consegue tratar assuntos desde o mais elementar, como este, at� os que est�o na fronteira do conhecimento com uma clareza invej�vel.

Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que � uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o m�ximo de pessoas poss�vel.

Eu fico na d�vida se estou diante de pessoas que est�o somente exibindo conhecimento ou se os assuntos est�o sendo tratados da forma mais palat�vel poss�vel e eu � que estou muito defasado da turma. Geralmente fico com a segunda op��o.

O fato � que uma minoria de pessoas geniais participam ativamente das discuss�es e a maioria observa.

Se isto n�o fere o objetivo maior da exist�ncia desta lista, desculpem minha preocupa��o.

Sds, Ojesed

----- Original Message -----

From: Carlos Eddy Esaguy Nehab

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Friday, August 10, 2007 9:00 AM

Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA e a m�dia harm�nica....

Oi, Ojesed ,

At 02:04 10/8/2007, you wrote:

Seria correto dizer que se as massas n�o fossem iguais a resposta seria a "m�dia harm�nica ponderada", com as massas sendo os ponderadores ?

Sim, vale... Veja:

A m�dia harm�nica das densidades, ponderadas pelas massas �, por defini��o: o inverso da m�dia aritm�tica ponderada (pesos m1 e m2) dos inversos das densidades d1 e d2. Ou seja:

� o inverso de [ m1 x (1/d1) + m2 x (1/d2) ] / (m1 + m2)
que vale (m1+m2) / [ (m1/d1 + m2/d2) ]

Mas esta express�o � exatamente a densidade m�dia, pois � a massa total (m1+m2) dividida pelo volume total (m1/d1 + m2/d2).

Abra�os,
Nehab

----- Original Message -----

From: Carlos Eddy Esaguy Nehab

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM

Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA

Oi, Arkon, Ponce e Desejo...

J� que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta �tima resposta, fica aqui uma dica, pois problemas desta natureza j� apareceram diversas vezes por aqui...

Quando se introduz o conceito de m�dias (mesmo na 6 ou 7 s�ries) � extremamente oportuno sugerir contextos onde elas ocorrem (para n�o parecer um neg�cio artificial) e a resposta do Ojesed mostra que ele j� adquiriu a malicia que eu acho legal.

Na F�sica a m�dia harm�nica ocorre com freq��ncia, pois ela � usual em todas as situa��es onde a grandeza da qual se deseja calcular a "m�dia" � o quociente entre duas "vari�veis" e.... vejamos: Velocidade � dist�ncia / tempo... Densidade � massa / volume, resist�ncia = "voltagem"/ corrente ...   Logo, se desejamos calcular velocidade m�dia, densidade m�dia, resist�ncia equivalente, fatalmente a m�dia harm�nica entra na jogada (caso os valores das dist�ncias, volumes ou "voltagens" sejam iguais e isto ocorre na liga��o em paralelo - como as voltagens n�o se somam, a resist�ncia equivalente � o dobro da m�dia harm�nica...), posto que velocidade m�dia = dist total / tempo total; densidade final = massa total / volume total... e resistencia = "mesma voltagem" / corrente total

Vejamos um exemplinho cl�ssico (o outro � o do Arkon, posto que se misturam iguais quantidades de MASSA...)

"Voc� vai a 60 km por hora num trecho de estrada e no mesmo trecho volta a 90 km/h. Qual sua velocidade m�dia?"

Ora, voc� est� querendo medir velocidade m�dia, mas a vari�vel "chave", que � o tempo, est� no denominador das velocidades e as duas dist�ncias, de ida e de volta s�o iguais ...

Logo a velocidade m�dia (vm) � a m�dia harm�nica.

Veja: vm = dist�ncia total / tempo total = (d1 + d2) / (t1 + t2)       (A)

Ocorre que t1 = d1 /v1 e t2 = d2/v2

Levando estas expressoes em (A) voce obtem

dist total / tempo total = (x + x) / [x/v1 + x/v2] = 2v1.v2 (v1+v2)   que � a m�dia harm�nica...

Abra�os,

Nehab

At 22:39 8/8/2007, you wrote:

A densidade total � a m�dia harm�nica das densidades parciais.

----- Original Message -----
From: arkon
To: obm-l
Sent: Wednesday, August 08, 2007 10:49 AM
Subject: [obm-l] BETONEIRA