Re: [obm-l] PRISIONEIROS

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Olá Arkon,

vamos calcular a probabilidade dele conseguir chegar à saida em X horas.

1 hora: P(1) = 1/3 [pegar o primeiro caminho]
2 horas: P(2) = 0
3 horas: P(3) = 1/3 [pegar o segundo caminho]
4 horas: P(4) = 0
hmm P(5) = 0, P(6) = 0, P(7) = 1/3*1/3 [pegar o 3o. caminho e dps o primeiro]
hmm P(8) = 0, P(9) = 1/3*1/3 [pegar o 3o. caminho e dps o 2o.]

vamos tentar generalizar:
P(6k+1) = (1/3)^k
P(6k+3) = (1/3)^k
P(demais) = 0

sabemos que E = Sum[x*P(x)] = Sum[k=0 ... inf] { (6k+1)/3^k } +
Sum[k=0 ... inf] { (6k+3)/3^k }

Sum[k=0 .. inf] 1/3^k = 3/2 [PG infinita]
Sum[k=0 .. inf] 3/3^k = 9/2 [PG infinita]

falta calcularmos Sum[k=0..inf] 6k/3^k..
vamos calcular Sum[k=0..inf] k/3^k
como a serie eh convergente, facamos:
S = 1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + 4/3^4 + ...
3S = 1 + 2/3 + 3/3^2 + 4/3^3 + ...
subtraindo, temos:
3S - S = 1 + (2/3 - 1/3) + (3/3^2 - 2/3^2) + (4/3^3 - 3/3^3) + ...
2S = 1 + 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + ...
2S = 1 + 3/2 [PG infinita em 1/3 + 1/3^2 + ... ]
2S = 5/2
S = 5/4
logo: Sum[k=0..inf] 6k/3^k = 6*5/4 = 15/2

deste modo, ficamos com:
E = (15/2 + 3/2) + (15/2 + 9/2) = (15+3+15+9)/2 = 42/2 = 21 horas

eita... nenhuma das opcoes? hehehe
espero ter errado conta ao inves de conceitos :)

abracos,
Salhab



On 8/13/07, arkon <arkon@bol.com.br> wrote:
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>  Alguém pode resolver essa, por favor:
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> Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a um porão de onde partem 3
> túneis. o 1º túnel dá acesso à liberdade em 1 hora; o 2º, em 3 horas; O 3º
> leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os prisioneiros que descobrem
> os túneis conseguem escapar da prisão em:
>
>
>
> a)3h 20'   b)3h 40'   c)4h     d)4h 30'    e)5h.
>
>
>
> DESDE JÁ MUITO OBRIGADO A TODOS
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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