Re: [obm-l] Falha nossa

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Apr 25, 2003 at 01:29:25PM +0000, Antonio Neto wrote:
>    Falei besteira, Igor. Nao reparei que era a soma, e troquei pela 
> determinacao do termo geral. O que eu disse aplica-se ao termo geral, mas 
> nao aa soma. Para tirar a dúvida, fui aos arquivos da lista para pegar os 
> valores de a, b, c, d e e. Escrevi o polinomio e calculei S(-1)= 1 e S(-2)= 
> 0, o que nao faz sentido, pelo menos para mim. Desculpem a falha, abracos, 
> olavo.

Para mim faz todo o sentido falar em S(n) para qualquer inteiro.
Temos S(1) = 1^3 = 1
      S(2) = 1^3 + 2^3 = 9
      S(3) = 1^3 + 2^3 + 3^3 = 36

A propriedade importante é S(n+1) = S(n) + (n+1)^3 o que,
junto com S(0) = 0, define S.

Mas se você desejar uma interpretação mais explícita, tome

S(n) = 1^3 + 2^3 + ... + n^3, n >= 1
S(n) = - ( (-1)^3 + (-2)^3 + ... + (n+1)^3 ), n < -1

Isto é um pouco como definir uma integral de 1 a 0 como menos a integral
de 0 a 1, só é preciso ter cuidado com as pontas (se incluí-las ou não).

Observe que temos S(n) = S(-1-n). Os valores acima você obviamente trocou,
o certo seria S(-1) = 0, S(-2) = 1, S(-3) = 9, S(-4) = 36.

Se um aluno precisar resolver um sistema por força bruta (sem calculadora)
seria ótima idéia não apenas usar estes valores (que são menores)
mas usar a simetria S(n) = S(-1-n) para ver que, supondo S um polinômio
de grau <= 4, podemos escrever

S(n) = a + b (2n+1)^2 + c (2n+1)^4

Você pode pensar nisso como uma expansão em Taylor ao redor do centro
de simetria n=1/2. Os termos de grau ímpar são iguais a 0.

S(0) = a +   b +    c = 0
S(1) = a +  9b +  81c = 1
S(2) = a + 25b + 625c = 9

o que fazendo eliminação gaussina dá

a + b +   c = 0
    b + 10c = 1/8
    b + 26c = 9/24 = 3/8
        16c = 2/8 = 1/4   -----> c =  1/64

    b + 10/64 = 1/8 = 8/64 ----> b = -2/64

a + b + c   = 0  --------------> a =  1/64

S(n) = (1 - 2(2n+1)^2 + (2n+1)^4)/64 = (((2n+1)^2 - 1)/8)^2
     = ((4n^2 - 4n)/8)^2 = (n(n-1)/2)^2

A fórmula está certa. Se você já sabe que a resposta deve ser um polinômio
de grau 4, a demonstração acaba aqui. Se você não sabe (apenas conjecturou)
você precisa usar a fórmula e fazer uma pequena demonstração por indução.

É claro que tudo isso é para um aluno muito tímido para conjecturar.
Afinal, vendo os números 0, 1, 9, 36 lá no início o aluno *deveria*
ter conjecturado que S(n) = (f(n))^2 onde f é alguma função inteira simples,
talvez um polinômio. E os primeiros valores de f (0,1,3,6,10,...)
deveriam acabar de entregar a resposta...

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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