Re: [obm-l] forma fechada e integral

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Caro Cláudio,

OK. A idéia da integral é boa mesmo.
Como não existe forma fechada para
F(x)=\int f(x) dx = \int n*(1+x)^(n-1)*x^n dx,
a soma 2 não tem forma fechada também.
Legal.

A mesma análise serve para as outras duas.

[]'s
Luís

-----Mensagem Original-----
De: "Cláudio (Prática)" <claudio@praticacorretora.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: quinta-feira, 20 de fevereiro de 2003 19:08
Assunto: Re: [obm-l] forma fechada e integral


> Caro Luís:
> > >
> > >                  infinito
> > > Soma 1 = SOMA   ((n+1)/(2k+1))*C(n+1,2k+1)
> > >                   k = 0
> > >
> > >                  infinito
> > > Soma 2 = SOMA  (k/(n+k))*C(n,k)
> > >                  k = 0
> > >
> > >                  infinito
> > > Soma 3 = SOMA  (2k/(2n+k))*C(n,k)
> > >                  k = 0
> > >
> Bom, cada uma das 3 somas acima tem um número finito de termos não nulos.
> Nos 3 casos, se k > n, então C(n,k) = C(2n+1,2k+1) = 0.
>
> Além disso, temos o seguinte:
> k*C(n,k) = n!/((k-1)!*(n-k)!) = n*(n-1)!/((k-1)!*(n-k)!) = n*C(n-1,k-1)
>
> Levando em conta os dois fatos acima, a segunda soma pode ser reescrita
> como:
>                       n
> Soma 2  =  SOMA  (n/(n+k))*C(n-1,k-1)
>                    k = 1
>
> Fórmula fechada também acho difícil encontrar, mas a idéia da integral é
> interessante. Considere a seguinte função:
>                                                 n-1
> f(x) = n*(1+x)^(n-1)*x^n  =  SOMA n*C(n-1,j)*x^(n+j).
>                                                j = 0
>
> Integrando f(x) de 0 até 1, você acha:
>    n-1
> SOMA  n*(C(n-1,j)/(n+j+1))*[1^(n+j+1) - 0^(n+j+1)]  =
>  j = 0
>
>    n-1
> SOMA  n*C(n-1,j)/(n+j+1).
>   j = 0
>
> Fazendo j = k - 1, teremos:
>      n
> SOMA n*C(n-1,k-1)/(n+k)
>   k = 1
> que é justamente a Soma2 acima.
>
>
> Um abraço,
> Claudio.
>


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