Re: [obm-l] forma fechada e integral

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Luís:
> >
> >                  infinito
> > Soma 1 = SOMA   ((n+1)/(2k+1))*C(n+1,2k+1)
> >                   k = 0
> >
> >                  infinito
> > Soma 2 = SOMA  (k/(n+k))*C(n,k)
> >                  k = 0
> >
> >                  infinito
> > Soma 3 = SOMA  (2k/(2n+k))*C(n,k)
> >                  k = 0
> >
Bom, cada uma das 3 somas acima tem um número finito de termos não nulos.
Nos 3 casos, se k > n, então C(n,k) = C(2n+1,2k+1) = 0.

Além disso, temos o seguinte:
k*C(n,k) = n!/((k-1)!*(n-k)!) = n*(n-1)!/((k-1)!*(n-k)!) = n*C(n-1,k-1)

Levando em conta os dois fatos acima, a segunda soma pode ser reescrita
como:
                      n
Soma 2  =  SOMA  (n/(n+k))*C(n-1,k-1)
                   k = 1

Fórmula fechada também acho difícil encontrar, mas a idéia da integral é
interessante. Considere a seguinte função:
                                                n-1
f(x) = n*(1+x)^(n-1)*x^n  =  SOMA n*C(n-1,j)*x^(n+j).
                                               j = 0

Integrando f(x) de 0 até 1, você acha:
   n-1
SOMA  n*(C(n-1,j)/(n+j+1))*[1^(n+j+1) - 0^(n+j+1)]  =
 j = 0

   n-1
SOMA  n*C(n-1,j)/(n+j+1).
  j = 0

Fazendo j = k - 1, teremos:
     n
SOMA n*C(n-1,k-1)/(n+k)
  k = 1
que é justamente a Soma2 acima.


Um abraço,
Claudio.

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