Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Pelo que me lembro a prova de Liouville (sobre a transcendência de pi)
constrói
inicialmente uma equação polinomial com grau n que teria como solução
pi.
Ele então prova que tal equação não existiria pois n deveria ser
infinito.  Isso como
vc está dizendo parece ser diferente de considerar uma série de
potências.
   Como você mesmo disse:

"Mas x = 0 é solução de sen(x) = 0.
Posso expressar sen(x) igualmente bem em série de potência, e
no entanto 0 está longe de ser transcendente.

Isto mostra que qualquer número a princípio pode ser solução de
uma equação que envolva uma série, ou a expansão em séries
de uma função."

 Podemos dizer que existem infinitos x para os quais  sen(x) = 0, ou
seja isso não
define um número transcendente, mas um conjunto de números da forma
2*k*pi com
k em Z, dos quais com exceção de um todos são transcendentes.   O
problema parece
ser decidir quando a solução de uma "equação de grau infinito"  oferece
um número transcendente.

   É essa tarefa, que eu concordo, não é trivial.  Provavelmente teremos
que construir grupos associados,
como fez Galois para o caso finito.  Neste caso daria para provar que
e+pi é transcendente.  Bastaria
construir uma "equação de grau infinito"  que oferecesse e+pi como
solução e ter um teorema de
apoio que mostrasse que essa solução é transcendente.

Ronaldo Luiz Alonso.


silverratio@gmail.com wrote:

> Olá,
>
> É preciso ser um pouco cuidadoso com essa questão de transcendência.
>
> Eu responderia não à primeira pergunta do Demétrio.
> Várias questões precisam ser respondidas quando você fala em grau
> infinito.
>
> Eu entendo que com grau infinito você estaria provavelmente se
> referindo
> à uma série. Mas isso está longe de ser suficiente..
>
> No exemplo do Ronaldo, pi/4 é solução de tg (x) = 1.
> Mas x = 0 é solução de sen(x) = 0.
> Posso expressar sen(x) igualmente bem em série de potência, e
> no entanto 0 está longe de ser transcendente.
>
> Isto mostra que qualquer número a princípio pode ser solução de
> uma equação que envolva uma série, ou a expansão em séries
> de uma função.
>
> Quanto à segunda pergunta, não sei à qual prova o Ronaldo está
> se referindo.
> O que eu sei que Liouville fez foi dar uma caracterização dos
> números transcendentes à partir do que ele chamou de aproximações
> racionais, o que é diferente de pensar em séries, ou "polinômios
> infinitos".
> Trata-se de aproximar números com SEQUÊNCIAS de racionais.
>
> Provar a transcendentalidade, ou mesmo irracionalidade, não é uma
> tarefa trivial.. especialmente a primeira.
> Existe um Teorema famoso que foi provado Gelfond, e independentemente
> por Schneider, que diz o seguinte:
>
> TEOREMA (Gelfond & Schneider):
> * Se X e Y são números algébricos, X é diferente de zero e um, e B não
>
> é racional, então X^Y é transcendente.
>
> Como exemplo, temos que e^(pi) (mas não e + pi) é transcendente,
> bem como 2^sqrt(2).
> Contudo, a demonstração de tal teorema não é fácil.
> Eu citaria como referência o livro do Ivan Niven, "Irrational
> Numbers".
>
> Abraço,
>
> - Leandro.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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