[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional
O Leandro tem muita razão quando diz que é necessário
cuidado neste tipo de raciocínio. Conceitos familiares
de cálculo e análise parecem ter utilidade restrita em
questões de transcendência ou mesmo irracionalidade.
Eu não conheço a prova de Lindemann. Na verdade, eu a
vi uma vez e quase tudo o que me lembro é que não a
entendi...
--- ralonso <ralonso@trieste.fapesp.br> escreveu:
>
> Como você mesmo disse:
>
> "Mas x = 0 é solução de sen(x) = 0.
> Posso expressar sen(x) igualmente bem em série de
> potência, e
> no entanto 0 está longe de ser transcendente.
>
> Isto mostra que qualquer número a princípio pode ser
> solução de
> uma equação que envolva uma série, ou a expansão em
> séries
> de uma função."
>
Sem dúvida. Mas note que um número ser raiz de um
polinômio de grau N não é suficiente para dizer que
tal número seja algébrico de grau N. É necessário
também que o polinômio seja irredutível. Logo, o fato
de funções analíticas (ou suas expansões em séries de
potências) possuírem valores racionais ou algébricos
em alguns pontos não serve, por si só, como
contra-exemplo para a idéia inicial.
Vou tentar esboçar o raciocínio de forma mais
sistemática:
1- Suponha uma iteração onde a cada passo seja gerado
um polinômio irredutível nos racionais e de grau
crescente.
2- Suponha que seja possível determinar que uma raiz
deste polinômio converge para um número conhecido X.
3- Baseado no fato de que os polinômios gerados a cada
passo são irredutíveis e de grau crescente, podemos
afirmar que a raiz usada como aproximação para X é um
número algébrico de grau crescente a cada iteração. Ou
seja, o número X pode ser cada vez melhor aproximado
por um algébrico de grau crescente.
4- A iteração pode ser infinita de forma que não temos
limite para gerar melhores aproximações para X com
números algébricos de grau cada vez maior.
Até aqui tudo bem...
5- Agora sim vem a pergunta: este raciocínio pode ser
usado como prova de transcendência. Isto é, mostrar
que números algébricos de grau crescente convergem
para um determinado valor serve para afirmar que este
valor é transcendente?
Bem, a resposta é mesmo: NÃO. Parece um bom raciocínio
para mim, mas infelizmente é falso. Já achei um contra
exemplo. Ainda assim, o argumento parece bom. Onde
estará o erro?
O contra exemplo está abaixo, é parte de algo que eu
tentei desenvolver na lista certa vez.
(1)- Considere a raiz de maior módulo dos polinômios
obtidos pela seguinte construção:
Seja Pa(x) = x-k (k primo positivo)
Seja Pb(x) = x^2 – k
P[1]=Pb(Pa)
P[n]=Pb(P[n-1])
Isto é, P[n] é o polinômio obtido pela composição
iterativa de Pb(Pa), e depois Pb sucessivamente.
Para clarear, um exemplo:
Pa(x)=x-2
Pb(x)=x^2-2
P[1]=(Pa)^2 – 2=(x-2)^2 - 2=x^2-4x+2
P[2]=(P1)^2 - 2=x^4-8x^3+20x^2-16x+2
P[3]=(P2)^2 - 2 =
x^8-16x^7+104x^6-352x^5+660x^4-672x^3+336x^2-64x+2
...
As maiores raízes (r[n]) destes P[n]s são:
P[1] -> r[1]=2+2^.5
P[2] -> r[2]=2+(2+(2)^.5)^.5
P[3] -> r[3]=2+(2+(2+(2)^.5)^.5)^.5
Isto é, os r[n] são sqrts aninhadas, na forma r[1] =
k + sqrt(k); rn = k + sqrt(r[n-1]).
(2)- O passo seguinte é mostrar que o grau algébrico
de r[n] cresce com 2^n. Isto é, no exemplo anterior,
r[2] é algébrico de grau 4, r[3] é algébrico de grau
8, etc. Ou, na verdade, bastaria mostrar que o grau
algébrico de r[n] cresce SEMPRE com n. Isso parece
razoável, porque r[n] possui n sqrts aninhadas.
Porém, o mais adequado é mostrar que P[n] é sempre
irredutível. A minha tentativa é a seguinte:
1=>P[1] é irredutível pelo critério de Eisenstein
2=>O coeficiente do termo de maior grau em P[n] é
sempre 1
3=>O termo a0, segue a sequência abaixo:
P[1]=>k^2-k; P[2]=>(k^2-k)^2-k; P[3]=
((k^2-k)^2-k)^2-k;
que claramente é divisível por k, mas não por k^2
4=>os demais coeficientes são combinações lineares de
potências de números que são divisíveis por k, já que
os coeficientes não-líderes de P1..[n-1] são
divisíveis por k.
5=> Por (1,2,3,4), P[n] deve atender o critério de
Eisenstein.
(3) - Ok, então os r[n] são algébricos de grau
crescente. Porém, não convergem para um número
transcendente. Convergem para r = (2*k+1 +
sqrt(4*k+1))/2, que é claramente algébrico....
[]´s Demétrio
Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais em http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================