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Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional
O Leandro tem muita raz�o quando diz que � necess�rio
cuidado neste tipo de racioc�nio. Conceitos familiares
de c�lculo e an�lise parecem ter utilidade restrita em
quest�es de transcend�ncia ou mesmo irracionalidade.
Eu n�o conhe�o a prova de Lindemann. Na verdade, eu a
vi uma vez e quase tudo o que me lembro � que n�o a
entendi...
--- ralonso <ralonso@trieste.fapesp.br> escreveu:
>
> Como voc� mesmo disse:
>
> "Mas x = 0 � solu��o de sen(x) = 0.
> Posso expressar sen(x) igualmente bem em s�rie de
> pot�ncia, e
> no entanto 0 est� longe de ser transcendente.
>
> Isto mostra que qualquer n�mero a princ�pio pode ser
> solu��o de
> uma equa��o que envolva uma s�rie, ou a expans�o em
> s�ries
> de uma fun��o."
>
Sem d�vida. Mas note que um n�mero ser raiz de um
polin�mio de grau N n�o � suficiente para dizer que
tal n�mero seja alg�brico de grau N. � necess�rio
tamb�m que o polin�mio seja irredut�vel. Logo, o fato
de fun��es anal�ticas (ou suas expans�es em s�ries de
pot�ncias) possu�rem valores racionais ou alg�bricos
em alguns pontos n�o serve, por si s�, como
contra-exemplo para a id�ia inicial.
Vou tentar esbo�ar o racioc�nio de forma mais
sistem�tica:
1- Suponha uma itera��o onde a cada passo seja gerado
um polin�mio irredut�vel nos racionais e de grau
crescente.
2- Suponha que seja poss�vel determinar que uma raiz
deste polin�mio converge para um n�mero conhecido X.
3- Baseado no fato de que os polin�mios gerados a cada
passo s�o irredut�veis e de grau crescente, podemos
afirmar que a raiz usada como aproxima��o para X � um
n�mero alg�brico de grau crescente a cada itera��o. Ou
seja, o n�mero X pode ser cada vez melhor aproximado
por um alg�brico de grau crescente.
4- A itera��o pode ser infinita de forma que n�o temos
limite para gerar melhores aproxima��es para X com
n�meros alg�bricos de grau cada vez maior.
At� aqui tudo bem...
5- Agora sim vem a pergunta: este racioc�nio pode ser
usado como prova de transcend�ncia. Isto �, mostrar
que n�meros alg�bricos de grau crescente convergem
para um determinado valor serve para afirmar que este
valor � transcendente?
Bem, a resposta � mesmo: N�O. Parece um bom racioc�nio
para mim, mas infelizmente � falso. J� achei um contra
exemplo. Ainda assim, o argumento parece bom. Onde
estar� o erro?
O contra exemplo est� abaixo, � parte de algo que eu
tentei desenvolver na lista certa vez.
(1)- Considere a raiz de maior m�dulo dos polin�mios
obtidos pela seguinte constru��o:
Seja Pa(x) = x-k (k primo positivo)
Seja Pb(x) = x^2 � k
P[1]=Pb(Pa)
P[n]=Pb(P[n-1])
Isto �, P[n] � o polin�mio obtido pela composi��o
iterativa de Pb(Pa), e depois Pb sucessivamente.
Para clarear, um exemplo:
Pa(x)=x-2
Pb(x)=x^2-2
P[1]=(Pa)^2 � 2=(x-2)^2 - 2=x^2-4x+2
P[2]=(P1)^2 - 2=x^4-8x^3+20x^2-16x+2
P[3]=(P2)^2 - 2 =
x^8-16x^7+104x^6-352x^5+660x^4-672x^3+336x^2-64x+2
...
As maiores ra�zes (r[n]) destes P[n]s s�o:
P[1] -> r[1]=2+2^.5
P[2] -> r[2]=2+(2+(2)^.5)^.5
P[3] -> r[3]=2+(2+(2+(2)^.5)^.5)^.5
Isto �, os r[n] s�o sqrts aninhadas, na forma r[1] =
k + sqrt(k); rn = k + sqrt(r[n-1]).
(2)- O passo seguinte � mostrar que o grau alg�brico
de r[n] cresce com 2^n. Isto �, no exemplo anterior,
r[2] � alg�brico de grau 4, r[3] � alg�brico de grau
8, etc. Ou, na verdade, bastaria mostrar que o grau
alg�brico de r[n] cresce SEMPRE com n. Isso parece
razo�vel, porque r[n] possui n sqrts aninhadas.
Por�m, o mais adequado � mostrar que P[n] � sempre
irredut�vel. A minha tentativa � a seguinte:
1=>P[1] � irredut�vel pelo crit�rio de Eisenstein
2=>O coeficiente do termo de maior grau em P[n] �
sempre 1
3=>O termo a0, segue a sequ�ncia abaixo:
P[1]=>k^2-k; P[2]=>(k^2-k)^2-k; P[3]=
((k^2-k)^2-k)^2-k;
que claramente � divis�vel por k, mas n�o por k^2
4=>os demais coeficientes s�o combina��es lineares de
pot�ncias de n�meros que s�o divis�veis por k, j� que
os coeficientes n�o-l�deres de P1..[n-1] s�o
divis�veis por k.
5=> Por (1,2,3,4), P[n] deve atender o crit�rio de
Eisenstein.
(3) - Ok, ent�o os r[n] s�o alg�bricos de grau
crescente. Por�m, n�o convergem para um n�mero
transcendente. Convergem para r = (2*k+1 +
sqrt(4*k+1))/2, que � claramente alg�brico....
[]�s Dem�trio
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