Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Demetrio Freitas wrote:

> O Leandro tem muita razão quando diz que é necessário
> cuidado neste tipo de raciocínio. Conceitos familiares
> de cálculo e análise parecem ter utilidade restrita em
> questões de transcendência ou mesmo irracionalidade.
>
> Eu não conheço a prova de Lindemann. Na verdade, eu a
> vi uma vez e quase tudo o que me lembro é que não a
> entendi...
>
> --- ralonso <ralonso@trieste.fapesp.br> escreveu:
> >
> >    Como você mesmo disse:
> >
> > "Mas x = 0 é solução de sen(x) = 0.
> > Posso expressar sen(x) igualmente bem em série de
> > potência, e
> > no entanto 0 está longe de ser transcendente.
> >
> > Isto mostra que qualquer número a princípio pode ser
> > solução de
> > uma equação que envolva uma série, ou a expansão em
> > séries
> > de uma função."
> >
>
> Sem dúvida. Mas note que um número ser raiz de um
> polinômio de grau N não é suficiente para dizer que
> tal número seja algébrico de grau N. É necessário
> também que o polinômio seja irredutível. Logo, o fato
> de funções analíticas (ou suas expansões em séries de
> potências) possuírem valores racionais ou algébricos
> em alguns pontos não serve, por si só, como
> contra-exemplo para a idéia inicial.

>

...
(ver texto da mensagem anterior).
...


>

> (3) - Ok, então os r[n] são algébricos de grau
> crescente. Porém, não convergem para um número
> transcendente. Convergem para r = (2*k+1 +
> sqrt(4*k+1))/2, que é claramente algébrico....
>

Olá Demétrio!
Linda contra-prova.  Agora se você notar bem, seu exemplo foi
construir um polinômio de grau tendendo ao infinito
sempre atendendo ao critério de irredutibilidade
Eiseinstein, porém construído de uma forma um
tanto quanto artificial (usando uma sequência iterativa de polinômios
para definí-lo).

  Vc consegui assim uma sequência de algébricos que
não tende a um transcendente.  Tende para um algébrico.

    Agora atente para o detalhe: A sequência de soluções (raízes) deste polinômio
sempre pode ser definida por números escritos em termos de radicais!
  Para polinômios de grau >= 5 essas soluções nem sempre podem ser definidas
em termos de radicais.   Então vem a minha idéia de associar grupos
a essas construções.  A pergunta que fica no ar é quando uma
sequência de números algébricos tende a um número transcendente.
   A transcendência, então, precisa ser melhor categorizada matemáticamente
e isso exige um rigor.  A teoria dos grupos está aí para nos ajudar.
   Eu confesso que também não entendi completamente
a prova de Lindemann.  Mas ela pode oferecer uma resposta a essa profunda
pergunta.

[]s
Ronaldo.





>
> []´s Demétrio
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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