RES: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

 

Nao hah um engano no enunciado deste teorema? O numero B nem aparece na expressao. Se X e Y sao algebricos, X^Y pode ser algebrico mesmo que Y nao seja 0 nem 1.   

[Artur Costa Steiner] 

 
Provar a transcendentalidade, ou mesmo irracionalidade, não é uma
tarefa trivial.. especialmente a primeira.
Existe um Teorema famoso que foi provado Gelfond, e independentemente
por Schneider, que diz o seguinte:

TEOREMA (Gelfond & Schneider):
* Se X e Y são números algébricos, X é diferente de zero e um, e B não
é racional, então X^Y é transcendente.

Como exemplo, temos que e^(pi) (mas não e + pi) é transcendente,
bem como 2^sqrt(2).
Contudo, a demonstração de tal teorema não é fácil.
Eu citaria como referência o livro do Ivan Niven, "Irrational Numbers".

Abraço,

- Leandro.