Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional

[silverratio@xxxxxxxxx]

Olá,

É preciso ser um pouco cuidadoso com essa questão de transcendência.

Eu responderia não à primeira pergunta do Demétrio.
Várias questões precisam ser respondidas quando você fala em grau infinito.

Eu entendo que com grau infinito você estaria provavelmente se referindo
à uma série. Mas isso está longe de ser suficiente..

No exemplo do Ronaldo, pi/4 é solução de tg (x) = 1.
Mas x = 0 é solução de sen(x) = 0.
Posso expressar sen(x) igualmente bem em série de potência, e
no entanto 0 está longe de ser transcendente.

Isto mostra que qualquer número a princípio pode ser solução de
uma equação que envolva uma série, ou a expansão em séries
de uma função.

Quanto à segunda pergunta, não sei à qual prova o Ronaldo está
se referindo.
O que eu sei que Liouville fez foi dar uma caracterização dos
números transcendentes à partir do que ele chamou de aproximações
racionais, o que é diferente de pensar em séries, ou "polinômios infinitos".
Trata-se de aproximar números com SEQUÊNCIAS de racionais.

Provar a transcendentalidade, ou mesmo irracionalidade, não é uma
tarefa trivial.. especialmente a primeira.
Existe um Teorema famoso que foi provado Gelfond, e independentemente
por Schneider, que diz o seguinte:

TEOREMA (Gelfond & Schneider):
* Se X e Y são números algébricos, X é diferente de zero e um, e B não
é racional, então X^Y é transcendente.

Como exemplo, temos que e^(pi) (mas não e + pi) é transcendente,
bem como 2^sqrt(2).
Contudo, a demonstração de tal teorema não é fácil.
Eu citaria como referência o livro do Ivan Niven, "Irrational Numbers".

Abraço,

- Leandro.