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Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Fri, 14 Oct 2005 12:09:39 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
> Se vc está pensando no exemplo X que vai embolotando o n-ésimo racional
> com intervalos abertos de raio eps/(2^(n+1)) (na verdade, o complementar
> desse X), acho que basta pegar esse épsilon irracional; isso garante que
> não teremos coisas do tipo (a,b) (b,c).
 
Não tenho tanta certeza. Acho que, para cada eps > 0, existe alguma enumeração de Q tal que, para todo n, 
r_n + eps/2^(n+1) < raiz(2)   ou   r_n - eps/2^(n+1) > raiz(2).
Como Q é denso, o embolotamento correspondente conteria algo do tipo (a,raiz(2)) união (raiz(2),b).
 
[]s,
Claudio.
 
> então qualquer intervalo aberto contendo um ponto z do complementar
> de X
> irá conter pontos de X, o q pela sua estrutura implicaria que algum r_n
> + eps/(2^(n+1)) está nesse intervalo, e como com o eps irracional não caímos
> no caso (a,b) (b,c), acho que dá pra garantir que esse ponto é diferente
> de z.
>
> []s,
> Daniel
>
> '>'-- Mensagem Original --
> '>'Date: Fri, 14 Oct 2005 07:47:49 -0300
> '>'Subject: Re:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
> '>'From: "claudio.buffara"
> '>'To: "obm-l"
> '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> '>'
> '>'
> '>'OK. E se quisermos medida positiva, interior vazio, fechado e sem pontos
> '>'isolados? Repare que, no exemplo abaixo, podemos ter dois intervalos
> abertos
> '>'da forma (a,b) e (b,c), de modo que b seria um ponto isolado do complementar
> '>'da união dos intervalos.
> '>'Será que dá pra escolher, para cada racional r_n, um intervalo aberto
> I_n
> '>'tal que isso nunca ocorra?
> '>'
> '>'[]s,
> '>'Claudio.
> '>'
> '>'De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> '>'
> '>'Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> '>'
> '>'Cópia:
> '>'
> '>'Data:Thu, 13 Oct 2005 17:23:02 -0300
> '>'
> '>'Assunto:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
> '>'
> '>'> basta tomar o complementardaquele exemplo que vc deu.O complementar
> eh
> '>'fechado, tem interior vazio e medida infinita
> '>'> Artur
> '>'>
> '>'>
> '>'-----Mensagem original-----
> '>'De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> nome
> '>'de claudio.buffara
> '>'Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 14:04
> '>'Para: obm-l
> '>'Assunto: Re:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
> '>'
> '>'
> '>'> E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal
> conjunto
> '>'seja fechado?
> '>'>
> '>'> []s,
> '>'> Claudio.
> '>'>
> '>'> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> '>'
> '>'> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> '>'
> '>'> Cópia:
> '>'
> '>'> Data:Thu, 13 Oct 2005 12:13:18 -0300
> '>'
> '>'> Assunto:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
> '>'
> '>'> > Na realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um
> conjunto
> '>'aberto e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de zero.
> '>'> >
> '>'> > Um conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais.
> '>'Se quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0,
> 1],
> '>'Tem medida 1.
> '>'> >
> '>'> > A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais,
> '>'certo? f(x) = 0 se x for irracional, f(x) =1 /n se x = m/n for racional,
> '>'m e n>0 primos entre si. Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo
> de funcao
> '>'continua nos racionais e descontinua nos irracionais.
> '>'> >
> '>'> > Considremos agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e f(x) =
> 0 se
> '>'x = 0. Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x
> ->
> '>'0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 > 0.
> '>'> > Temos que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e que, em qualquer intervalo
> '>'aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos valores
> '>'-1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f
> tem uma
> '>'infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica
> em nenhum
> '>'destes intervalos.
> '>'> >
> '>'> > Isto ilustra que f'(a) >0) nao eh condicao suficiente para que
> a seja
> '>'ponto de crescimento de f. Dizemos que a eh ponto de crescimento de
> f se
> '>'existir uma vizinhanca de a na qual f seja crescente.
> '>'> >
> '>'> > Artur
> '>'> >
> '>'] -----Mensagem original-----
> '>'De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> nome
> '>'de claudio.buffara
> '>'Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 22:53
> '>'Para: obm-l
> '>'Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
> '>'
> '>'
> '>'> > Oi, pessoal:
> '>'> >
> '>'> > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R e de
> medida
> '>'nula. Isso me lembrou de outro problema parecido:
> '>'> >
> '>'> > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida positiva e interior
> vazio.
> '>'> >
> '>'> > Outros dois bonitinhos são:
> '>'> > Dê um exemplo de função real contínua nos irracionais e descontínua
> nos
> '>'racionais.
> '>'> > e
> '>'> > Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo ponto, tal
> que f'(0)
> '>'> 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo contendo a origem.
> '>'> >
> '>'> > No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala quando é
> usado?
> '>'> >
> '>'> > []s,
> '>'> > Claudio.
> '>'> >
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>