Re: RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

--- "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
escreveu:

> É para aprender mais do que para qualquer outra
> coisa.
>  
> > (*)A propósito, qual é a prova de que toda função
> > meromórfica tem expensão em frações parciais??
> Estou
> > (quase) certo de que isso é verdade, mas não
> conheço a
> > prova... Acho até que vale para toda função
> analítica.
> 
> Não sei direito qual é o enunciado do que você está
> tentando provar. Se a função for f(z) = e^z/z, por
> exemplo,
> você pode escrever f(z) = g(z) + (1/z) onde g(z) =
> (e^z - 1)/z
> é inteira. É este tipo de decomposição que você quer
> provar
> que pode ser feito (para qq função meromorfa e ao
> redor de qq polo)?
> Se for, isto segue diretamente da série de
> Taylor-Laurent.
> Ou será que você está falando de coisas tipo a série
> abaixo:
> 
> tan z = SOMA_{k=1,2,...} (1/(z-((2k-1)*pi/2))) +
> (1/(z+((2k-1)*pi/2))) 
> 

Boa tarde professor Nicolau,

Eu estou falando de séries como tan(z) = SOMA_....
Acho que é melhor deixar funções inteiras de fora num
primeiro momento (apesar de que eu suspeite que seja
possível incluí-las também).

Eu tenho a impressão que este tipo de expressão não é
restrito a poucas funções. Deixe eu ver se consigo me
explicar um pouco melhor. 

É bem conhecido que se pode obter este tipo de
expressão (uma decomposição em funções parciais)  para
funções racionais. Isso é uma consequência do teorema
fundamental da álgebra, já você pode escrever o
denominador na forma produto de raízes e depois
decompô-lo em cada pólo. Ex:

f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)=(x^2+1)/((x+1)*(x-1))=
=1+1/(x-1)-1/(x+1)

Então, neste aspecto o teorema fundamental da álgebra
diz o seguinte: "funções racionais são univocamente
caracterizadas pelo seu conjunto de zeros e pólos"
(Acho até que só pelos pólos, considerando que para
caracterizar o pólo seja necessário localização,
multiplicidade e resíduos).

Ou seja, até onde eu consigo ver, uma função racional
é completamente caracterizada pelas suas
singularidades.   O fato de você poder obter uma
decomposição em frações parciais é consequência disso.


Bem, o raciocínio seguinte é perguntar se você pode
afirmar o mesmo para qq função analítica, ou pelo
menos para funções meromórficas. A resposta é sim,
pelo menos para funções trigonométricas e
hiperbólicas.  Exemplos:

sec(x) = SOMA_{k=1,2,...} (-1)^k*(1/(x-((2*k-1)*Pi/2))
- 1/(x+((2*k-1)*Pi/2)))

sech(x) = SOMA_{k=1,2,...}
(-1)^(k+1)*((2*k-1)*Pi/(x^2+((2*k-1)*Pi/2)^2))

cotan(x) = 1/x
+SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)+1/(x-k*Pi))

csc(x)^2 = 1/x^2
+SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)^2+1/(x-k*Pi)^2)

(cos(x)-sin(x))/(cos(x)+sin(x))=
= SOMA_{k=1,2,...} 1/(x+(-1)^(k-1)*(2*k-1)*Pi/4)

etc...

Ou seja , dizer que as singularidades identificam a
função e que pode obter-se uma expansão em frações
parciais  com os pólos vale para racionais,
trigonométricas e hiperbólicas. A pergunta que segue
é: será que vale para todas as meromórficas???!

Não sei se eu consegui explicar direito, e
naturalmente   existe a possibilidade que eu tenha me
perdido em algum erro básico... Mas vou pesquisar um
pouco mais este final de semana, se eu achar alguma
coisa, boto na lista.

[]´s Demétrio

 

> (espero ter acertado)
> Este tipo de expressão não é um caso particular de
> um teorema geral,
> é uma propriedade especial de uma função especial
> (no caso, tan).


> 
> []s, N.
> 
> []s, N.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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