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Re: RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Olá,
O resultado que eu estava procurando é o teorema de
Mittag-Leffler. Ainda não achei uma demonstração.
Alguém conhece uma on-line?
http://mathworld.wolfram.com/Mittag-LefflersPartialFractionsTheorem.html
http://planetmath.org/encyclopedia/MittagLefflersTheorem.html
[]´s Demetrio
--- Demetrio Freitas
<demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br> escreveu:
>
> --- "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
> escreveu:
>
> > É para aprender mais do que para qualquer outra
> > coisa.
> >
> > > (*)A propósito, qual é a prova de que toda
> função
> > > meromórfica tem expensão em frações parciais??
> > Estou
> > > (quase) certo de que isso é verdade, mas não
> > conheço a
> > > prova... Acho até que vale para toda função
> > analítica.
> >
> > Não sei direito qual é o enunciado do que você
> está
> > tentando provar. Se a função for f(z) = e^z/z, por
> > exemplo,
> > você pode escrever f(z) = g(z) + (1/z) onde g(z) =
> > (e^z - 1)/z
> > é inteira. É este tipo de decomposição que você
> quer
> > provar
> > que pode ser feito (para qq função meromorfa e ao
> > redor de qq polo)?
> > Se for, isto segue diretamente da série de
> > Taylor-Laurent.
> > Ou será que você está falando de coisas tipo a
> série
> > abaixo:
> >
> > tan z = SOMA_{k=1,2,...} (1/(z-((2k-1)*pi/2))) +
> > (1/(z+((2k-1)*pi/2)))
> >
>
> Boa tarde professor Nicolau,
>
> Eu estou falando de séries como tan(z) = SOMA_....
> Acho que é melhor deixar funções inteiras de fora
> num
> primeiro momento (apesar de que eu suspeite que seja
> possível incluí-las também).
>
> Eu tenho a impressão que este tipo de expressão não
> é
> restrito a poucas funções. Deixe eu ver se consigo
> me
> explicar um pouco melhor.
>
> É bem conhecido que se pode obter este tipo de
> expressão (uma decomposição em funções parciais)
> para
> funções racionais. Isso é uma consequência do
> teorema
> fundamental da álgebra, já você pode escrever o
> denominador na forma produto de raízes e depois
> decompô-lo em cada pólo. Ex:
>
> f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)=(x^2+1)/((x+1)*(x-1))=
> =1+1/(x-1)-1/(x+1)
>
> Então, neste aspecto o teorema fundamental da
> álgebra
> diz o seguinte: "funções racionais são univocamente
> caracterizadas pelo seu conjunto de zeros e pólos"
> (Acho até que só pelos pólos, considerando que para
> caracterizar o pólo seja necessário localização,
> multiplicidade e resíduos).
>
> Ou seja, até onde eu consigo ver, uma função
> racional
> é completamente caracterizada pelas suas
> singularidades. O fato de você poder obter uma
> decomposição em frações parciais é consequência
> disso.
>
>
> Bem, o raciocínio seguinte é perguntar se você pode
> afirmar o mesmo para qq função analítica, ou pelo
> menos para funções meromórficas. A resposta é sim,
> pelo menos para funções trigonométricas e
> hiperbólicas. Exemplos:
>
> sec(x) = SOMA_{k=1,2,...}
> (-1)^k*(1/(x-((2*k-1)*Pi/2))
> - 1/(x+((2*k-1)*Pi/2)))
>
> sech(x) = SOMA_{k=1,2,...}
> (-1)^(k+1)*((2*k-1)*Pi/(x^2+((2*k-1)*Pi/2)^2))
>
> cotan(x) = 1/x
> +SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)+1/(x-k*Pi))
>
> csc(x)^2 = 1/x^2
> +SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)^2+1/(x-k*Pi)^2)
>
> (cos(x)-sin(x))/(cos(x)+sin(x))=
> = SOMA_{k=1,2,...} 1/(x+(-1)^(k-1)*(2*k-1)*Pi/4)
>
> etc...
>
> Ou seja , dizer que as singularidades identificam a
> função e que pode obter-se uma expansão em frações
> parciais com os pólos vale para racionais,
> trigonométricas e hiperbólicas. A pergunta que segue
> é: será que vale para todas as meromórficas???!
>
> Não sei se eu consegui explicar direito, e
> naturalmente existe a possibilidade que eu tenha
> me
> perdido em algum erro básico... Mas vou pesquisar um
> pouco mais este final de semana, se eu achar alguma
> coisa, boto na lista.
>
> []´s Demétrio
>
>
>
> > (espero ter acertado)
> > Este tipo de expressão não é um caso particular de
> > um teorema geral,
> > é uma propriedade especial de uma função especial
> > (no caso, tan).
>
>
> >
> > []s, N.
> >
> > []s, N.
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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