[obm-l] Subconjuntos de R

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

O problema a seguir talvez fosse mais desafiador se nao tivesse ainda havido esta discussao sobre conjuntos com interior vazio e medida positiva. Apos esta discussao, a solucao eh bem obvia:

Sejam (r_n) uma enumeracao dos racionais, (x_n) uma sequencia de termos reais positivos, I_n = (r_n - x_n,  r_n + x_n) e I = Uniao (I_n). Entao, I eh um aberto denso em R. Mostre que, se Soma (x_n) convegir, entao I eh um subconjunto proprio de R.

Minha duvida: e se Soma (x_n) divergir? Ainda assim eh possivel termos I como subconjunto proprio de R? Neste caso, I = R eh sem duvida possivel. Isto
certamente ocorrerah se tivermos, por exemplo, x_n = r >0 para todo n, sendo r constante. Estou analisando esta sitauacao, em que Sona (x_n) diverge.

Artur