Re: [obm-l] Subconjuntos de R

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Só como "palpite": tome x_n = 1/n, a série harmônica, que diverge. Mas
agora suponha que a sua enumeraçao dos racionais é "burra" no seguinte
sentido: ela inclui os números numa ordem bastante particular:
Seja J o intervalo (-1,1); ela inclui um número de J, outro fora de J,
três de J, um fora de J, cinco de J, um fora de J, ..., 2n+1 de J, um
fora de J, 2n+3 de J, um fora de J, .... Bom, os termos dentro de I
nao me interessam, mas os que estao fora formam uma subseqüência y_n
cujos índices sao (n^2 + n), e portanto Soma(y_n) converge. Pelo seu
problema (que eu deixo pra outra pessoa resolver :) ), temos em (R \
I) que Uniao (intervalos com centro fora de J) é um subconjunto
próprio de (R \ I).

Mas ainda espero uma caracterizaçao melhor...
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

On 10/17/05, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
>
> O problema a seguir talvez fosse mais desafiador se nao tivesse ainda havido
> esta discussao sobre conjuntos com interior vazio e medida positiva. Apos
> esta discussao, a solucao eh bem obvia:
>
> Sejam (r_n) uma enumeracao dos racionais, (x_n) uma sequencia de termos
> reais positivos, I_n = (r_n - x_n,  r_n + x_n) e I = Uniao (I_n). Entao, I
> eh um aberto denso em R. Mostre que, se Soma (x_n) convegir, entao I eh um
> subconjunto proprio de R.
>
> Minha duvida: e se Soma (x_n) divergir? Ainda assim eh possivel termos I
> como subconjunto proprio de R? Neste caso, I = R eh sem duvida possivel.
> Isto
> certamente ocorrerah se tivermos, por exemplo, x_n = r >0 para todo n, sendo
> r constante. Estou analisando esta sitauacao, em que Sona (x_n) diverge.
>
> Artur
>
>

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================