[obm-l] subconjunto proprio de R

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

O problema a seguir talvez fosse mais interessante se
nao tivessa havido esta discussao sobre conjuntos com
interior vazio e medida positiva. Apos esta discussao,
a solucao eh bem obvia:


Sejam (r_n) uma enumeracao dos racionais, (x_n) uma
sequencia de termos reais positivos, I_n = (r_n - x_n
, r_n + x_n) e I = Uniao (n=1, inf) I_n. Entao, I eh
um aberto denso em R. Mostre que, se Soma(n=1, inf)
x_n convegir, entao I eh um subconjunto proprio de R.

Minha duvida: E se Soma(n=1, inf) x_n divergir? Ainda
eh possivel termos I como subconjunto proprio de R?
Neste caso, I = R eh sem duvida possivel. Isto
certamente ocorrerah se tivermos, por exemplo, x_n = r
>0 para todo n, sendo r constante.

Artur

  


		
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