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Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
From: Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>
Date: Sun, 16 Oct 2005 15:02:50 -0700 (PDT)
DomainKey-Signature: a=rsa-sha1; q=dns; c=nofws; s=s1024; d=yahoo.com; h=Message-ID:Received:Date:From:Subject:To:In-Reply-To:MIME-Version:Content-Type:Content-Transfer-Encoding; b=Jzlop2WWKluzQSrJ2xZZN/KesVU/HWenlyISHiu/CZe5psOPEiMot9tlZ6RLCMsUyrB5kGj2af0nfbuwxn1sIAL88lFgQHMv47qeHq+At8UTGnnR+YdhAhei6Pq1hABeQngEvy9jZtqfXjogcBPJt1kvBeXVCUYBFVT8mJTFIrE= ;
In-Reply-To: <IOD363$CAD5A770D83EB7F4625DDE89C4790C89@terra.com.br>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx

Oi,

Isto parece muito complicado, mas nao eh tanto assim
nao.  O conjunto desejado certamente existe. 

R eh um espaco metrico separavel, isto eh, contem um
subconjunto denso e enumeravel - Q, por exemplo. Como
consequencia, se E eh um subconjunto de R, entao o
conjunto dos elementos de E que sao pontos isolados eh
enumeravel. Quando aplicada a conjuntos fechados, esta
conclusao dah origem ao teorema de Cantor/Bendixson: 
Todo fechado F de R eh a uniao disjunta de um conjunto
perfeito com um enumeravel. O enumeravel eh justamente
o conjunto dos pontos isolados de F.

Sendo F um conjunto fechado, com interior vazio e
medida positiva, o qual jah vimos existir,entao F = P
Uniao I, sendo P perfeito e I enumeravel. Dado que P e
I sao disjuntos, a aditividade da medida leva a que
m(F) = m(P) + m(I) = m(P), pois todo enumeravel tem
medida nula.  Logo, m(P) = m(F) >0. Assim P eh
perfeito (fechado e sem pontos isolados), tem interior
vazio (pois eh subconjunto de F) e tem medida
positiva.
Assim, construido o conjunto F do caso anterior, basta
expurgar seus pontos isolados.

Podemos tambem encontrar conjuntos compactos,
perfeitos, com ineror vazio e medida positiva
(finita).
 Abracos
Artur




"claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:

> 
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Cópia:
> 
> Data:Fri, 14 Oct 2005 12:09:39 -0300
> 
> Assunto:Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
> 
> > Se vc está pensando no exemplo X que vai
> embolotando o n-ésimo racional
> > com intervalos abertos de raio eps/(2^(n+1)) (na
> verdade, o complementar
> > desse X), acho que basta pegar esse épsilon
> irracional; isso garante que
> > não teremos coisas do tipo (a,b) (b,c).
> 
> Não tenho tanta certeza. Acho que, para cada eps >
> 0, existe alguma enumeração de Q tal que, para todo
> n,
> r_n + eps/2^(n+1) < raiz(2)   ou   r_n - eps/2^(n+1)
> > raiz(2).
> Como Q é denso, o embolotamento correspondente
> conteria algo do tipo (a,raiz(2)) união (raiz(2),b).
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> > então qualquer intervalo aberto contendo um ponto
> z do complementar
> > de X
> > irá conter pontos de X, o q pela sua estrutura
> implicaria que algum r_n
> > + eps/(2^(n+1)) está nesse intervalo, e como com o
> eps irracional não caímos
> > no caso (a,b) (b,c), acho que dá pra garantir que
> esse ponto é diferente
> > de z.
> >
> > []s,
> > Daniel
> >
> > '>'-- Mensagem Original --
> > '>'Date: Fri, 14 Oct 2005 07:47:49 -0300
> > '>'Subject: Re:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e
> Interior Vazio
> > '>'From: "claudio.buffara"
> > '>'To: "obm-l"
> > '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > '>'
> > '>'
> > '>'OK. E se quisermos medida positiva, interior
> vazio, fechado e sem pontos
> > '>'isolados? Repare que, no exemplo abaixo,
> podemos ter dois intervalos
> > abertos
> > '>'da forma (a,b) e (b,c), de modo que b seria um
> ponto isolado do complementar
> > '>'da união dos intervalos.
> > '>'Será que dá pra escolher, para cada racional
> r_n, um intervalo aberto
> > I_n
> > '>'tal que isso nunca ocorra?
> > '>'
> > '>'[]s,
> > '>'Claudio.
> > '>'
> > '>'De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> > '>'
> > '>'Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> > '>'
> > '>'Cópia:
> > '>'
> > '>'Data:Thu, 13 Oct 2005 17:23:02 -0300
> > '>'
> > '>'Assunto:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e
> Interior Vazio
> > '>'
> > '>'> basta tomar o complementardaquele exemplo que
> vc deu.O complementar
> > eh
> > '>'fechado, tem interior vazio e medida infinita
> > '>'> Artur
> > '>'>
> > '>'>
> > '>'-----Mensagem original-----
> > '>'De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> > nome
> > '>'de claudio.buffara
> > '>'Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005
> 14:04
> > '>'Para: obm-l
> > '>'Assunto: Re:RES: [obm-l] Medida Positiva e
> Interior Vazio
> > '>'
> > '>'
> > '>'> E se, além de medida positiva e interior
> vazio, exigirmos que o tal
> > conjunto
> > '>'seja fechado?
> > '>'>
> > '>'> []s,
> > '>'> Claudio.
> > '>'>
> > '>'> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> > '>'
> > '>'> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> > '>'
> > '>'> Cópia:
> > '>'
> > '>'> Data:Thu, 13 Oct 2005 12:13:18 -0300
> > '>'
> > '>'> Assunto:RES: [obm-l] Medida Positiva e
> Interior Vazio
> > '>'
> > '>'> > Na realidade, nos demos um exemplo ainda
> mais marcante: o de um
> > conjunto
> > '>'aberto e denso em R mas com medida
> arbitrariamente proxima de zero.
> > '>'> >
> > '>'> > Um conjunto com medida infinita e interior
> vazio eh o dos irrracionais.
> > '>'Se quisermos medida finita e positiva, tomemos
> os irrracionais em [0,
> > 1],
> > '>'Tem medida 1.
> > '>'> >
> > '>'> > A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao
> continua so nos irracionais,
> > '>'certo? f(x) = 0 se x for irracional, f(x) =1 /n
> se x = m/n for racional,
> > '>'m e n>0 primos entre si. Agora, eu quero ver
> alguem dar um exemplo
> > de funcao
> > '>'continua nos racionais e descontinua nos
> irracionais.
> > '>'> >
> > '>'> > Considremos agora f(x) = x/2 +
> (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e f(x) =
> > 0 se
> > '>'x = 0. Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 +
> (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x
> > ->
> > '>'0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 > 0.
> > '>'> > Temos que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e
> que, em qualquer intervalo
> > '>'aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa
> infinitas vezes pelos valores
> > '>'-1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo
> contendo a origem, f
> > tem uma
> > '>'infinidade de maximos e minimos relativos.
> Logo, f nao eh monotonica
> > em nenhum
> > '>'destes intervalos.
> > '>'> >
> > '>'> > Isto ilustra que f'(a) >0) nao eh condicao
> suficiente para que
> > a seja
> > '>'ponto de crescimento de f. Dizemos que a eh
> ponto de crescimento de
> > f se
> > '>'existir uma vizinhanca de a na qual f seja
> crescente.
> > '>'> >
> > '>'> > Artur
> > '>'> >
> > '>'] -----Mensagem original-----
> > '>'De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> > nome
> > '>'de claudio.buffara
> > '>'Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005
> 22:53
> > '>'Para: obm-l
> > '>'Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior
> Vazio
> > '>'
> > '>'
> > '>'> > Oi, pessoal:
> > '>'> >
> > '>'> > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de
> conjunto denso em R e de
> > medida
> > '>'nula. Isso me lembrou de outro problema
> parecido:
> > '>'> >
> > '>'> > Dê um exemplo de subconjunto de R com
> medida positiva e interior
> > vazio.
> > '>'> >
> > '>'> > Outros dois bonitinhos são:
> > '>'> > Dê um exemplo de função real contínua nos
> irracionais e descontínua
> > nos
> > '>'racionais.
> > '>'> > e
> > '>'> > Dê um exemplo de uma função real f
> derivável em todo ponto, tal
> > que f'(0)
> > '>'> 0 mas que não seja crescente em nenhum
> intervalo contendo a origem.
> > '>'> >
> > '>'> > No mais, alguém já descobriu por que um
> chicote estala quando é
> > usado?
> > '>'> >
> > '>'> > []s,
> > '>'> > Claudio.
> > '>'> >
> >
> >
> >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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References:
- Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
  - From: claudio\.buffara

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