Re:[obm-l] Dois exercicios sobre teoria dos grupos

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Mon, 17 Oct 2005 10:23:48 -0300 (ART)

Assunto:

[obm-l] Dois exercicios sobre teoria dos grupos

> Oi. Sejam x, a, b elementos de um grupo G com a

> operacao .

> 1) Mostre que a equacao x.a.x=b tem solucao num grupo

> G se e somente se a.b=g^2 para algum g em G

Seja m em G tal que mam = b.

Seja g = am.

Então, g^2 = (am)^2 = (am)(am) = a(mam) = ab.

Por outro lado, seja g em G tal que ab = g^2.

Seja n = a^(-1)g.

Então, nan = a^(-1)gaa^(-1)g = a^(-1)g^2 = a^(-1)ab = b.

Ou seja, x = n é solução de xax = b.

> 2) Mostre que a equacao x^2.a.x=a^(-1) tem solucao em

> x num grupo G se e somente se a=g^3 para algum g em G

Seja m em G tal que m^2am = a^(-1) ==> mama = m^(-1).

Seja g = am.

Então g^3 = (am)^3 = a(mama)m = am^(-1)m = a.

Agora, seja g em G tal que a = g^3.

Seja n = g^(-2).

Então n^2an = g^(-4)g^3g^(-2) = g^(-3) = a ==>

x = g^(-2) é solução de x^2ax = a^(-1).

[]s,

Claudio.