Re: RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Oct 13, 2005 at 10:49:00PM +0000, Demetrio Freitas wrote:
> Eu me sinto meio desconfortável quando vc  expressa
> uma função meromórfica e diz que ela não está definida
> nas singularidades, ou pior, que os pólos estão fora
> do domínio. Tudo bem, isto significa que você não pode
> usar a mesma definição usada nos demais pontos para
> calcular a função naquele ponto. Ou que a função não é
> limitada na vizinhança do ponto. Mas vcs não acham que
> isso parece induzir a pensar que esses pontos não são
> de interesse na definição da função? 
> 
> Não sei se eu estou conseguindo me expressar direito.
> Eu quero dizer apenas que acho a linguagem inadequada,
> já que no caso de uma função meromórfica as
> singularidades (e zeros) não só importam, mas de fato
> definem a função(*). Acho inclusive que não há
> definição mais informativa para uma função que a sua
> decomposição em frações parciais, que exatamente usa
> as singularidades.

Como você mesmo diz, isto é uma questão de linguagem.
Podemos, por exemplo, definir a função

tan: C - A -> C, A = {(2k+1)*pi/2, k em Z}

mas podemos igualmente bem definir

tan: C -> C U {infinito}, a esfera de Riemann.

Tecnicamente a segunda é uma extensão da primeira.
 
> []´s Demétrio
> 
> Perdão se eu estou dizendo muita bobagem. Além de não
> ser matemático, eu também não sei matemática.  Mas
> creio que lista também é pra tentar aprender... 

É para aprender mais do que para qualquer outra coisa.
 
> (*)A propósito, qual é a prova de que toda função
> meromórfica tem expensão em frações parciais?? Estou
> (quase) certo de que isso é verdade, mas não conheço a
> prova... Acho até que vale para toda função analítica.

Não sei direito qual é o enunciado do que você está
tentando provar. Se a função for f(z) = e^z/z, por exemplo,
você pode escrever f(z) = g(z) + (1/z) onde g(z) = (e^z - 1)/z
é inteira. É este tipo de decomposição que você quer provar
que pode ser feito (para qq função meromorfa e ao redor de qq polo)?
Se for, isto segue diretamente da série de Taylor-Laurent.
Ou será que você está falando de coisas tipo a série abaixo:

tan z = SOMA_{k=1,2,...} (1/(z-((2k-1)*pi/2))) + (1/(z+((2k-1)*pi/2))) 

(espero ter acertado)
Este tipo de expressão não é um caso particular de um teorema geral,
é uma propriedade especial de uma função especial (no caso, tan).

[]s, N.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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