Re: [obm-l] conjuntos nao mensuraveis

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Jan 26, 2005 at 01:09:08PM -0300, Bruno Lima wrote:
> Achei varios livros do autor Jech, sobre conjuntos um deles chama-se Axiom of
> Choice, o pouco que entendi achei bom. Lá ele mostra umas coisas legais tipo:
> nao Axioma Escolha implica existencia (1)de Esp Vet sem base e (2)de Um
> conjunto infinito de reais sem um subconjunto enumeravel.  Mas o q o senhor
> citou, nao achei..mas como disse, entendo pouco, talvez seja corolario de
> algum teorema.  Entendo tao pouco que nao sei nem o q ZF ??

ZF = Axiomas de Zermelo-Fraenkel, os axiomas usuais da teoria dos conjuntos
sem o axioma da escolha.
> 
> "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br> wrote:
> A minha lembrança é de que é consistente com ZF (os axiomas usuais
> da teoria dos conjuntos sem o axioma da escolha) que todo conjunto
> de números reais seja mensurável. Vou procurar verificar esta informação
> e mandar ourta mensagem com referência. Se por algum motivo eu não
> fizer isto, sugiro começar a procura por "Set theory", de Jech.

O teorema que eu queria é o teorema 101 do livro que eu citei acima,
capítulo 7, seção 42, página 537. O teorema é de Solovay.
Ele é um pouco diferente do que eu lembrava: você precisa de
ZF+"Existe um cardinal inacessível"; por Gödel sabemos que isto
é estritamente mais forte do que ZF. Enfim, o teorema é o seguinte:

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Theorem 101 (Solovay)

Assume that there exists an inaccessible cardinal.

(a) There is a model of ZF+DC in which all sets of real numbers are Lebesgue
measurable and have the property of Baire, and every uncountable set of reals
has a perfect subset.

(b) There is a model of ZFC in which every projective set of reals is Lebesgue
measurable, has the Baire property, and if uncountable, then it contains
a perfect subset.

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Resumindo e simplificando: não dá para construir conjuntos não mensuráveis
sem usar o axioma da escolha.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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