Re: [obm-l] Probabilidade 1/3

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Nov 19, 2003 at 05:59:39PM -0200, Cl�udio (Pr�tica) wrote:
> > Mas mais seriamente n�o acho �bvio como calcular
> > P(cara), P(coroa) ou P(em p�) para um cilindro.
> >
> Abstraindo de todas as complica��es f�sicas e de engenharia (atrito, choque
> el�stico vs inel�stico, imperfei��es do cilindro e da superf�cie onde ele �
> jogado, etc.), me parece que um cilindro homog�neo com h = d*raiz(3) (e n�o
> h = d/raiz(3) como eu havia escrito antes) tem as tr�s probabilidades
> iguais.
> 
> Pra mim � claro que P(em p�) -> 0 (1) quando h -> 0 (+infinito). Logo,
> supondo que P(em p�) � uma fun��o cont�nua de h (hip�tese que n�o me parece
> t�o absurda), deve haver h tal que P(em p�) = 1/3.
> 
> Para um cilindro de altura = h e di�metro = d, eu diria que P(em p�) = 1 -
> (2/Pi)*arctg(h/d).  Eu simplesmente determinei o �ngulo de contato entre o
> cilindro e a superf�cie para o qual o reta unindo o centro de massa ao ponto
> de contato � perpendicular � superf�cie.

O modelo mais simples e razoavelmente realista que me ocorre � o seguinte:
o s�lido cai com uma orienta��o aleat�ria em R^3 (determinada por uma matriz
aleat�ria de SO(3), o grupo das matrizes ortogonais, que tem uma �nica
medida natural). Suponha que ele cai sem estar rodando e que ao encostar na
mesa (ou ch�o, ou seja l� o que for) acaba indo repousar sobre a face
sobre a qual cair a proje��o vertical do centro de massa.
Podemos simplificar um pouco escolhendo aleatoriamente um vetor na esfera S^2
centrada no centro de massa e vendo onde vai parar o prolongamento do vetor.

No caso do cilindro a esfera fica dividida em tr�s partes, duas calotas
polares correspondentes �s duas faces e uma regi�o tropical correspondente
� superf�cie cil�ndrica. As �reas destas regi�es s�o proporcionais �s alturas.
Podemos tomar a esfera de di�metro sqrt(h^2+d^2) e assim a regi�o tropical
tem probabilidade h/sqrt(h^2+d^2). Para que isto seja igual a 1/3 devemos ter
sqrt(h^2+d^2) = 3h ou h^2+d^2 = 9h^2 ou h = d/sqrt(8).

Mais este modelo me parece muito simplista... sei l�...

[]s, N.

=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================