Re: [obm-l] Probabilidade 1/3

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Nov 19, 2003 at 05:59:39PM -0200, Cláudio (Prática) wrote:
> > Mas mais seriamente não acho óbvio como calcular
> > P(cara), P(coroa) ou P(em pé) para um cilindro.
> >
> Abstraindo de todas as complicações físicas e de engenharia (atrito, choque
> elástico vs inelástico, imperfeições do cilindro e da superfície onde ele é
> jogado, etc.), me parece que um cilindro homogêneo com h = d*raiz(3) (e não
> h = d/raiz(3) como eu havia escrito antes) tem as três probabilidades
> iguais.
> 
> Pra mim é claro que P(em pé) -> 0 (1) quando h -> 0 (+infinito). Logo,
> supondo que P(em pé) é uma função contínua de h (hipótese que não me parece
> tão absurda), deve haver h tal que P(em pé) = 1/3.
> 
> Para um cilindro de altura = h e diâmetro = d, eu diria que P(em pé) = 1 -
> (2/Pi)*arctg(h/d).  Eu simplesmente determinei o ângulo de contato entre o
> cilindro e a superfície para o qual o reta unindo o centro de massa ao ponto
> de contato é perpendicular à superfície.

O modelo mais simples e razoavelmente realista que me ocorre é o seguinte:
o sólido cai com uma orientação aleatória em R^3 (determinada por uma matriz
aleatória de SO(3), o grupo das matrizes ortogonais, que tem uma única
medida natural). Suponha que ele cai sem estar rodando e que ao encostar na
mesa (ou chão, ou seja lá o que for) acaba indo repousar sobre a face
sobre a qual cair a projeção vertical do centro de massa.
Podemos simplificar um pouco escolhendo aleatoriamente um vetor na esfera S^2
centrada no centro de massa e vendo onde vai parar o prolongamento do vetor.

No caso do cilindro a esfera fica dividida em três partes, duas calotas
polares correspondentes às duas faces e uma região tropical correspondente
à superfície cilíndrica. As áreas destas regiões são proporcionais às alturas.
Podemos tomar a esfera de diâmetro sqrt(h^2+d^2) e assim a região tropical
tem probabilidade h/sqrt(h^2+d^2). Para que isto seja igual a 1/3 devemos ter
sqrt(h^2+d^2) = 3h ou h^2+d^2 = 9h^2 ou h = d/sqrt(8).

Mais este modelo me parece muito simplista... sei lá...

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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