Re: [obm-l] Parabola

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Nov 07, 2003 at 11:22:52AM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote:
...
> Caso B. Os quatro pontos são os vértices ABCD de um quadrilátero convexo.
> Além disso, as semiretas DA e CB se encontram em um ponto E e
> as semiretas AB e DC se encontram em um ponto F (veja diagrama).
> Eu afirmo que neste caso há duas parábolas passando pelos quatro pontos:
> em uma delas (em vermelho na figura) os pontos aparecem na ordem ABCD
> (ou seja, o infinito está entre A e D) e na outra(em azul) os pontos
> aparecem na ordem DABC. A verificação destas afirmações depende
> de cálculos trabalhosos mas interessantes que deixamos a cargo do leitor.

Talvez nem todos os leitores julguem os cálculos tão interessantes assim.
Eu pelo menos não achei. Preferi uma demonstração mais geométrica.

Faça uma transformação projetiva para transformar ABCD no quadrado de
vértices (+-1,+-1). A reta no infinito foi levada a uma reta (verde)
exterior ao quadrado e precisamos provar que há exatamente duas cônicas
passando pelos pontos (+-1,+-1) e tangentes à reta (as duas elipses
vermelha e azul).

Se traçarmos todas as cônicas passando por (+-1,+-1) teremos elipses
dentro da cruz (menos o quadrado central) e hipérboles fora da cruz
ou dentro do quadrado central. Qualquer reta tangente a uma destas
hipérboles passa entre os vértices e portanto corta o quadrado:
ou seja, as hipérboles não servem. Uma elispe precisa tangenciar
a reta verde em um dos dois segmentos dentro da cruz.
Agora não é difícil provar que há uma elipse que serve em cada segmento.

[]s, N.

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