Re: [obm-l] Parabola

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Nov 05, 2003 at 10:09:59AM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote:
> On Tue, Nov 04, 2003 at 07:38:29PM -0200, Angelo Barone Netto wrote:
> > Citando Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>:
> > 
> > Eh sabido que 5 pontos determinam uma conica univocamente.
> > E igualmente sabido (mesma prova) que dados 4 pontos coplanares
> > (3 a 3 nao colineares) ha uma infinidade de conicas por eles,
> > das quais UMA UNICA e parabola.
> 
> Acho que isto é verdade *quase* sempre mas certamente não é verdade
> sempre. Se os quatro pontos forem os vértices de um quadrado
> (ou mais geralmente, de um paralelogramo) não existe parábola
> nenhuma passando pelos quatro. A menos que você considere um par
> de retas paralelas como uma parábola degenerada, mas neste caso
> existem *duas* parábolas, e não uma.


Andei pensando um pouco mais sobre este problema e a afirmação
acima de fato não é correta nem mesmo no caso genérico.
De fato, dados quatro pontos no plano, há dois casos genéricos
a serem considerados.

Caso A. Um dos quatro pontos está no interior do triângulo
que tem por vértices os outros três pontos.
Neste caso não há nenhuma parábola passando pelos quatro pontos
pois, sendo a parábola o bordo de um conjunto convexo,
quaisquer quatro pontos distintos sobre qualquer parábola
sempre são os vértices de um quadrilátero convexo.

Caso B. Os quatro pontos são os vértices ABCD de um quadrilátero convexo.
Além disso, as semiretas DA e CB se encontram em um ponto E e
as semiretas AB e DC se encontram em um ponto F (veja diagrama).
Eu afirmo que neste caso há duas parábolas passando pelos quatro pontos:
em uma delas (em vermelho na figura) os pontos aparecem na ordem ABCD
(ou seja, o infinito está entre A e D) e na outra(em azul) os pontos
aparecem na ordem DABC. A verificação destas afirmações depende
de cálculos trabalhosos mas interessantes que deixamos a cargo do leitor.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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