ASSINALEI O ERRO.
Veja: o sistema x+y=1, x-y=1 tem soluçao (1,0). O sistema x+y +z =1,
x-y+z=1, x+2y +3z=3 tem soluçao (0,0,1). O seu processo levaria a
conclusao que este sistema eh impossivel.
Alexandre Daibert wrote:
Olha, eu fiz uma
demonstração mas acho q está errada, gostaria que alguém achasse o erro
na minha demonstração para mim.
A resolução usa a idéia da resolução da questão do IME q eu tinha
enviado aos senhores por meio de sistemas lineares homogêneos. (dúvidas
olhe no fim deste e-mail q também está postado)
resumindo a idéia principal da questão anterior:
no sistema linear homogêneo (onde X eh matriz-coluna das incógnitas)
(A + I)X=(0) , X = (0) implica q A é inversível (está provado na
questão anterior)
provemos por indução finita q X=(0) para todo A anti-simétrico:
X=(0) denota a matriz coluna de ordem qualquer com todos os elementos
iguais a zero
provando para matriz 1x1:
A (1x1) = matriz unidade [0]
X = matriz unidade [x]
AX = -X
[0]*[x] = -[x]
[0] = -[x]
x = 0 implica X = (0), logo a propriedade eh verdadeira para n=1
provamos q se é valida para matriz (n-1)x(n-1) é válida também para
matriz nxn
o sistema linear homogêneo determinado para ordem (n-1) fica da
seguinte forma (valendo-se da igualdade (A + I)X = (0)) :
x1 + ax2 + bx3 + ... = 0
-ax1 + x2 + dx3 + ... = 0
-bx1 + -dx2 + x3 + ... = 0
......................................
-gx1 + -hx2 + -ix3 + ... = 0
por hipótese x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 , pois X=(0)
para A nxn temos:
x1 + ax2 +
bx3
+ ... + kx(n) = 0
-ax1 + x2 + dx3 + ... + lx(n) = 0
-bx1 + -dx2 + x3 + ... + mx(n) = 0
...............................................
-gx1 + -hx2 + -ix3 + ... + zx(n) = 0
-kx1 + -lx2 + -mx3 + ... + x(n) = 0
fazendo para este novo sistema x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0
0 + 0 + 0 + ... + 0 + kx(n) = 0
0 + 0 + 0 + ... +
0
+ lx(n) = 0
.............................
0 + 0 + 0 + ... +
0
+ x(n) = 0
(Eu posso realmente fazer isso?? Se não posso, pq não posso?)NAO PODE!
da última equação, constatamos q x(n)=0
x(n)=0 => X=(0) => det (A + I) diferente de zero => (A +
I) é inversível para todo n
segundo o que acabamos de constatar, a propriedade seria válida não soh
para matrizes antisimétricas, mas para toda matriz com a diagonal
principal com todos os elementos iguais a zero, o que é estranho, pois
não é válida para a seguinte matriz A:
|| 0 1 ||
|| 1 0 ||
cujo det (A + I) = 0
Aguardo ansiosamente respostas
Alexandre Daibert
Alexandre Daibert escreveu:
Hehehe,
vou ser sincero, naum entendi tudo, mas deu pra entender bastante
coisa sim, vou dar mais uma relida pra ver se entendo tudo, hehehehe.
Valeu aí!
Quero só deixar apara o pessoal da lista a resolução q eu tinha
comentado por sistemas lineares homogêneos, q eu lembrei aki:
sendo BX=(0), um sistema linear homogêneo (B é matriz quadrada nxn, X
matriz coluna n)
temos q o sistema será possível determinado se e somente se X = (0)
(matriz coluna todos os elementos iguais a zero) o que implica q det B
é
diferente de zero (pois o sistema é determinado)
resumindo:
X = (0) => det B dif. de 0
fazendo B = (A + I) temos
(A + I)X = (0)
AX + X = (0)
AX = -X ....(1)
A^2*X = -AX
de (1):
A^2*X = X
A^3X = AX
kAX = -X
-kX = -X
(k-1)X=(0)
como k diferente de 1
X = (0)
(logo a matriz A + I é inversível)
alguém teria alguma idéia de pegar algo desta solução aki para o nosso
problema?? tentei fazer algo, mas não cheguei em nada...
Valeus aÊ!!!
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