Re: [obm-l] Problema de matrizes

[Alexandre Daibert <alexandredaibert2@xxxxxxxxx>]

Title:

Olha, eu fiz uma
demonstração mas acho q está errada, gostaria que alguém achasse o erro
na minha demonstração para mim.

A resolução usa a idéia da resolução da questão do IME q eu tinha
enviado aos senhores por meio de sistemas lineares homogêneos. (dúvidas
olhe no fim deste e-mail q também está postado)
resumindo a idéia principal da questão anterior:
no sistema linear homogêneo (onde X eh matriz-coluna das incógnitas)
(A + I)X=(0)   , X = (0)  implica q A é inversível (está provado na
questão anterior)
provemos por indução finita q X=(0) para todo A anti-simétrico:
X=(0) denota a matriz coluna de ordem qualquer com todos os elementos
iguais a zero

provando para matriz 1x1:
A (1x1) = matriz unidade [0]
X = matriz unidade [x]
AX = -X
[0]*[x] = -[x]
[0] = -[x]
x = 0   implica X = (0), logo a propriedade eh verdadeira para n=1

provamos q se é valida para matriz (n-1)x(n-1) é válida também para
matriz nxn
o sistema linear homogêneo determinado para ordem (n-1) fica da
seguinte forma (valendo-se da igualdade (A + I)X = (0)) :
x1   +  ax2  +  bx3  +  ...  =  0
-ax1 +   x2  +  dx3  +  ...  =  0
-bx1 + -dx2  +   x3  +  ...  =  0
......................................
-gx1 + -hx2  + -ix3  +  ...  =  0

por hipótese x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 , pois X=(0) 

para A nxn temos:

x1   +  ax2  +  bx3
 +  ...  + kx(n) =  0
-ax1 +   x2  +  dx3  +  ...  + lx(n) =  0
-bx1 + -dx2  +   x3  +  ...  + mx(n) =  0
...............................................
-gx1 + -hx2  + -ix3  +  ...  + zx(n) =  0
-kx1 + -lx2  + -mx3  +  ...  +  x(n) =  0

fazendo para este novo sistema x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0

0 + 0 + 0 + ... + 0 + kx(n) = 0
0 + 0 + 0 + ... + 0
+ lx(n) = 0
.............................
0 + 0 + 0 + ... + 0
+  x(n) = 0

(Eu posso realmente fazer isso?? Se não posso, pq não posso?)

da última equação, constatamos q x(n)=0
x(n)=0  =>  X=(0)  =>  det (A + I) diferente de zero  =>  (A +
I) é inversível para todo n 

segundo o que acabamos de constatar, a propriedade seria válida não soh
para matrizes antisimétricas, mas para toda matriz com a diagonal
principal com todos os elementos iguais a zero, o que é estranho, pois
não é válida para a seguinte matriz A:
|| 0 1 ||
|| 1 0 ||
cujo det (A + I) = 0

 
Aguardo ansiosamente respostas

Alexandre Daibert








Alexandre Daibert escreveu:
> Hehehe,
> vou ser sincero, naum entendi tudo, mas deu pra entender bastante
> coisa sim, vou dar mais uma relida pra ver se entendo tudo, hehehehe.
> Valeu aí! 
>   
> Quero só deixar apara o pessoal da lista a resolução q eu tinha
> comentado por sistemas lineares homogêneos, q eu lembrei aki: 
>   
> sendo BX=(0), um sistema linear homogêneo (B é matriz quadrada nxn, X
> matriz coluna n) 
> temos q o sistema será possível determinado se e somente se X = (0)
> (matriz coluna todos os elementos iguais a zero) o que implica q det B é
> diferente de zero (pois o sistema é determinado) 
> resumindo: 
> X = (0)  =>  det B dif. de 0 
> fazendo B = (A + I) temos 
> (A + I)X = (0) 
> AX + X = (0) 
>   
> AX = -X              ....(1) 
>   
> A^2*X = -AX 
> de (1): 
> A^2*X = X 
> A^3X = AX 
> kAX = -X 
> -kX = -X 
> (k-1)X=(0) 
> como k diferente de 1 
> X = (0) 
> (logo a matriz A + I é inversível) 
>   
> alguém teria alguma idéia de pegar algo desta solução aki para o nosso
> problema?? tentei fazer algo, mas não cheguei em nada... 
>   
> Valeus aÊ!!! 
>