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Re: [obm-l] Problema de matrizes
Hehehe, vou ser sincero, naum entendi tudo, mas deu pra entender
bastante coisa sim, vou dar mais uma relida pra ver se entendo tudo,
hehehehe. Valeu aí!
Quero só deixar apara o pessoal da lista a resolução q eu tinha
comentado por sistemas lineares homogêneos, q eu lembrei aki:
sendo BX=(0), um sistema linear homogêneo (B é matriz quadrada nxn, X
matriz coluna n)
temos q o sistema será possível determinado se e somente se X = (0)
(matriz coluna todos os elementos iguais a zero) o que implica q det B é
diferente de zero (pois o sistema é determinado)
resumindo:
X = (0) => det B dif. de 0
fazendo B = (A + I) temos
(A + I)X = (0)
AX + X = (0)
AX = -X ....(1)
A^2*X = -AX
de (1):
A^2*X = X
A^3X = AX
kAX = -X
-kX = -X
(k-1)X=(0)
como k diferente de 1
X = (0)
(logo a matriz A + I é inversível)
alguém teria alguma idéia de pegar algo desta solução aki para o nosso
problema?? tentei fazer algo, mas não cheguei em nada...
Valeus aÊ!!!
Eduardo Casagrande Stabel escreveu:
>Oi Daibert,
>
>Minha solução é muitíssimo avançada, precisarás de anos de estudos para
>compreendê-la... mas se você tentar, quem sabe consiga ainda hoje.
>
>Eu estou usando algumas propriedades bem simples sobre matrizes. Por
>exemplo, se A é uma matriz quadrada e suas colunas (vetores com n
>coordenadas) são A = [c_1 c_2 ... c_n] então a matriz é inversível (isto é,
>existe uma outra matriz B tal que AB = matriz identidade) se e somente se
>podemos encontrar constantes reais (nem todas nulas) v_1, v_2, ..., v_n tais
>que v_1*c_1 + ... + v_n*c_n é o vetor nulo. Esta expressão pode ser
>reescrita como Av = vetor nulo, onde v é a matriz coluna 1 por n com
>coordenadas v_1, v_2, ..., v_n. Fora esta propriedade, só uso fatos muito
>simples que certamente se ensinam no segundo grau.
>
>Primeiro, suponho por absurdo que existe um vetor não-nulo (pense como uma
>matriz 1 por n) v tal que
>
>(A + I)*v = 0 (este zero sendo a matriz 1 por n com zeros em suas
>coordenadas)
>
>Ou seja, estou supondo (pelo que discuti no primeiro parágrafo) que a matriz
>não é inversível. Pretendo chegar a uma contradição para concluir que esta
>hipótese é furada e portanto A + I deve ser inversível. (esta técnica de
>demonstração é conhecida como redução ao absurdo e é muito freqüente em
>matemática). Multiplicamos as matrizes (esta é a propriedade distribuitiva,
>que você deve conhecer)
>
>A*v + I*v = 0
>
>A matriz I mantém qualquer matriz, ou seja
>
>A*v + v = 0, daí
>A*v = - v
>
>Nós sabemos, da hipótese, que A^3 = k*A onde k é um número real diferente de
>1. Isto é uma igualdade de matrizes. Se esta igualdade vale, podemos
>multiplicar os dois lados por uma matriz e a igualdade continará valendo
>(concordas?). Multiplique então pela nossa matriz (ou vetor) v. Deve valer:
>
>A^3*v = k*A*v (1)
>
>Vamos trabalhar com essas duas expressões. A primeira é o produto de quatro
>matrizes, a saber, A*A*A*v. Como o produto de matrizes é associativo (=tanto
>faz a ordem da multiplicação) podemos associá-las assim
>
>A*( A* (A*v) )
>
>A expressão bem de dentro nós já calculamos. Daí a expressão fica
>
>A*(A * (-v) ) = - A*( A*v )
>
>Novamente a expressão do meio já foi calculada, daí ela fica
>
>- A * ( A*v ) = - A * ( -v ) = A * v = - v
>
>Ou seja
>
>A^3*v = - v
>
>Por outro lado
>
>k*A*v = k * (A*v) = k*( - v) = - k*v
>
>Daí igualando as expressões em (1)
>
>- v = - k * v
>v = k * v
>
>Pense nesta expressão. Temos a matriz v à esquerda e a mesma matriz v à
>direita, só que com todos suas coordenadas multiplicadas por k. Para valer
>essa expressão ou a matriz (vetor) v é cheio de zeros (o que contraria o que
>dissemos de v lá no começo) ou então o numero real k é igual a 1 (o que
>contraria o enunciado). Conclusão: não pode valer a hipótese de que A + I é
>não inversível, pois ela nos conduz a uma contradição.
>
>Espero que agora você já tenha penetrado no cálculo vetorial superior. ;)
>
>Abração!
>Duda.
>
>
>
>
>
>From: "Alexandre Daibert" <alexandredaibert2@ig.com.br>
>
>
>>Ih, desculpa aí mas eu sou soh vestibulando do ITA, ainda naum cheguei
>>nessa parte de cálculo vetorial de curso superior
>>:-P
>>mas valeu mesmo assim
>>
>>Alexandre Daibert
>>
>>
>>Eduardo Casagrande Stabel escreveu:
>>
>>
>>
>>>Oi Alexandre.
>>>
>>>Vou resolver com a mesma idéia que resolvi o outro.
>>>
>>>Assuma que A é uma matriz quadrada que satisfaz A^3 = kA onde k <> 1.
>>>
>>>
>Agora
>
>
>>>suponha, por hipótese de absurdo, que A + I não é uma matriz inversível.
>>>Portanto deve existir um vetor não-nulo real v tal que (A + I)v = 0, daí
>>>
>>>
>Av
>
>
>>>= -v. Vamos então calcular A^3v e kAv e compará-los. Temos A^3v =
>>>A^2(-v)=Av=-v. E temos kAv = -kv. Sabemos que A^3 = kA, o que implica
>>>
>>>
>A^3u =
>
>
>>>kAu para todo vetor u, em particular para o nosso amigo v. Portanto A^3v
>>>= -v = -kv = kAv. Ora se vale v = kv, uma das duas coisas tem de ser
>>>verdade: (1) k tem de valer 1, o que contraria a hipótese do enunciado;
>>>
>>>
>(2)
>
>
>>>v tem de ser nulo, o que contraria nossa hipótese de que v é não-nulo.
>>>Conclusão: A + I tem de ser inversível.
>>>
>>>Abraço,
>>>Duda.
>>>
>>>From: "Alexandre Daibert" <alexandredaibert2@ig.com.br>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>>Fábio,
>>>>Olha, eu não sou o Morgado não, mas vou te dar a opinião minha sobre a
>>>>pergunta 3. Eu estou tentando vestibular para o ITA pela segunda vez e
>>>>acho q esta resolução tah meio difícil comparando com a imensa maioria
>>>>das questões do ITA pelo menos (pra falar verdade eu naum entendi
>>>>direito, hehehe).
>>>>:)
>>>>
>>>>Lembram daquela quetão do IME do ano passado, a número 10? deixa eu soh
>>>>por o enunciado dela aki:
>>>>"Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um número
>>>>real diferente de 1. Sabendo-se que A^3=kA, prove que a matriz A+I é
>>>>invertível, onde I é a matriz identidade n x n"
>>>>Eu lembro de ter visto uma solução deste problema por sistemas lineares
>>>>homogêneos. Alguém tem alguma solução deste problema do IME por este
>>>>caminho?? talvez ajudasse em algo...
>>>>
>>>>
>>>>
>>>>
>>>>Fábio Dias Moreira escreveu:
>>>>
>>>>
>>>>
>>>>
>>>>
>>>>>---------- Cabeçalho inicial -----------
>>>>>
>>>>>De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>>>>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>>>Cópia:
>>>>>Data: Mon, 21 Jul 2003 19:16:47 -0300 (EST)
>>>>>Assunto: Re: [obm-l] Problema de matrizes
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>>Nao eh dificil dar uma soluçao usando autovalores. Veja a soluçao
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>
>>>enviada pelo Stabel, que eh otima, e que consegue usar autovalores de
>>>
>>>
>forma
>
>
>>>compreensivel a (bons) alunos do ensino medio. Mas, sei la, continuo
>>>desconfiado que deve haver uma soluçao que nao va alem de determinantes e
>>>sistemas de equaçoes lineares. Algo que provasse diretamente que A
>>>anti-simetrica real implicaria det(A+I) diferente de 0.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>>>>[...]
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>Eu acho que tenho uma solução elementar parcial para o problema:
>>>>>
>>>>>Seja nxn o tamanho da matriz A. Seja P o conjunto das permutações de
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>comprimento n). Seja p uma permutação de P. Se p não for uma involução,
>>>
>>>
>tome
>
>
>>>sua inversa q. Olhe para os termos associados a p e q no determinante da
>>>matriz A+I. Como pq = i, onde i é a identidade de P, p e q têm a mesma
>>>paridade, logo os termos associados têm, a priori, o mesmo sinal. Mas se
>>>
>>>
>x
>
>
>>>aparece num dos termos, então -x aparece no termo oposto; logo um dos
>>>
>>>
>termos
>
>
>>>é (-1)^k o outro, onde k é o número de pontos não-fixos, i.e. x tais que
>>>p(x) != x.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>>>Caso pp = i, eu afirmo que o termo associado é certamente não-negativo.
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>Note que então que os ciclos de p têm comprimento no máximo 2. Logo o
>>>
>>>
>termo
>
>
>>>pode ser construído do termo associado à identidade (que vale 1) se
>>>
>>>
>fizermos
>
>
>>>inversões disjuntas. Cada inversão troca um 1*1 por um -x*x = -x^2, mas
>>>também multiplica por -1 por causa da inversão da paridade. Logo o termo
>>>
>>>
>é
>
>
>>>multiplicado por x^2, certamente não-negativos.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>>>Se uma permutação p não-involutiva tem um número ímpar de pontos
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>não-fixos, então sua inversa q gera um termo que é igual em módulo ao
>>>
>>>
>termo
>
>
>>>gerado por p, mas tem sinal oposto, logo os dois termos se cancelam.
>>>
>>>
>Agora
>
>
>>>considere todas as permutações com k pontos não fixos, k par. Então os
>>>termos gerados por essas permutações são da forma 2*(-1)^m*P, onde m é 0
>>>
>>>
>ou
>
>
>>>1 e P é um produtório de um núme
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>>>s associados à permutação que não são 1 e que estão na metade superior
>>>>>
>>>>>
>da
>
>
>>>>>
>>>>>
>>>matriz -- escolher os termos daqui é sempre possível se mexermos no m
>>>apropriadamente).
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>>>Eu acho que não sei passsar muito daqui. A minha idéia era agrupar
>>>>>
>>>>>
>esses
>
>
>>>>>
>>>>>
>>>últimos termos com os termos quadrados perfeitos de mesmo grau para
>>>
>>>
>formar
>
>
>>>novos quadrados perfeitos maiores, assim retirando os termos que podem
>>>
>>>
>ser
>
>
>>>negativos de circulação.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>>>Pergunta 1: É sempre possível agrupar os termos dessa forma?
>>>>>
>>>>>Pergunta 2: m depende só de k (ou melhor ainda, não depende de nada)?
>>>>>
>>>>>
>Se
>
>
>>>>>
>>>>>
>>>sim, a resposta à pergunta 1 parece ser bem mais fácil.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>>>Pergunta 3 (ao Morgado): Na sua opinião, isso está no nível do ITA?
>>>>>
>>>>>Se eu tiver alguma idéia interessante sobre as perguntas 1 e 2, eu
>>>>>
>>>>>
>mando
>
>
>>>>>
>>>>>
>>>para a lista.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>>>[]s,
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>=========================================================================
>>>
>>>
>>>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>>>
>>>>
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>>>
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>>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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