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Re: [obm-l] Problema de matrizes
Ih, desculpa a� mas eu sou soh vestibulando do ITA, ainda naum cheguei
nessa parte de c�lculo vetorial de curso superior
:-P
mas valeu mesmo assim
Alexandre Daibert
Eduardo Casagrande Stabel escreveu:
>Oi Alexandre.
>
>Vou resolver com a mesma id�ia que resolvi o outro.
>
>Assuma que A � uma matriz quadrada que satisfaz A^3 = kA onde k <> 1. Agora
>suponha, por hip�tese de absurdo, que A + I n�o � uma matriz invers�vel.
>Portanto deve existir um vetor n�o-nulo real v tal que (A + I)v = 0, da� Av
>= -v. Vamos ent�o calcular A^3v e kAv e compar�-los. Temos A^3v =
>A^2(-v)=Av=-v. E temos kAv = -kv. Sabemos que A^3 = kA, o que implica A^3u =
>kAu para todo vetor u, em particular para o nosso amigo v. Portanto A^3v
>= -v = -kv = kAv. Ora se vale v = kv, uma das duas coisas tem de ser
>verdade: (1) k tem de valer 1, o que contraria a hip�tese do enunciado; (2)
>v tem de ser nulo, o que contraria nossa hip�tese de que v � n�o-nulo.
>Conclus�o: A + I tem de ser invers�vel.
>
>Abra�o,
>Duda.
>
>From: "Alexandre Daibert" <alexandredaibert2@ig.com.br>
>
>
>>F�bio,
>>Olha, eu n�o sou o Morgado n�o, mas vou te dar a opini�o minha sobre a
>>pergunta 3. Eu estou tentando vestibular para o ITA pela segunda vez e
>>acho q esta resolu��o tah meio dif�cil comparando com a imensa maioria
>>das quest�es do ITA pelo menos (pra falar verdade eu naum entendi
>>direito, hehehe).
>>:)
>>
>> Lembram daquela quet�o do IME do ano passado, a n�mero 10? deixa eu soh
>>por o enunciado dela aki:
>>"Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um n�mero
>>real diferente de 1. Sabendo-se que A^3=kA, prove que a matriz A+I �
>>invert�vel, onde I � a matriz identidade n x n"
>>Eu lembro de ter visto uma solu��o deste problema por sistemas lineares
>>homog�neos. Algu�m tem alguma solu��o deste problema do IME por este
>>caminho?? talvez ajudasse em algo...
>>
>>
>>
>>
>>F�bio Dias Moreira escreveu:
>>
>>
>>
>>>---------- Cabe�alho inicial -----------
>>>
>>>De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>C�pia:
>>>Data: Mon, 21 Jul 2003 19:16:47 -0300 (EST)
>>>Assunto: Re: [obm-l] Problema de matrizes
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>>Nao eh dificil dar uma solu�ao usando autovalores. Veja a solu�ao
>>>>
>>>>
>enviada pelo Stabel, que eh otima, e que consegue usar autovalores de forma
>compreensivel a (bons) alunos do ensino medio. Mas, sei la, continuo
>desconfiado que deve haver uma solu�ao que nao va alem de determinantes e
>sistemas de equa�oes lineares. Algo que provasse diretamente que A
>anti-simetrica real implicaria det(A+I) diferente de 0.
>
>
>>>>[...]
>>>>
>>>>
>>>>
>>>>
>>>Eu acho que tenho uma solu��o elementar parcial para o problema:
>>>
>>>Seja nxn o tamanho da matriz A. Seja P o conjunto das permuta��es de
>>>
>>>
>comprimento n). Seja p uma permuta��o de P. Se p n�o for uma involu��o, tome
>sua inversa q. Olhe para os termos associados a p e q no determinante da
>matriz A+I. Como pq = i, onde i � a identidade de P, p e q t�m a mesma
>paridade, logo os termos associados t�m, a priori, o mesmo sinal. Mas se x
>aparece num dos termos, ent�o -x aparece no termo oposto; logo um dos termos
>� (-1)^k o outro, onde k � o n�mero de pontos n�o-fixos, i.e. x tais que
>p(x) != x.
>
>
>>>Caso pp = i, eu afirmo que o termo associado � certamente n�o-negativo.
>>>
>>>
>Note que ent�o que os ciclos de p t�m comprimento no m�ximo 2. Logo o termo
>pode ser constru�do do termo associado � identidade (que vale 1) se fizermos
>invers�es disjuntas. Cada invers�o troca um 1*1 por um -x*x = -x^2, mas
>tamb�m multiplica por -1 por causa da invers�o da paridade. Logo o termo �
>multiplicado por x^2, certamente n�o-negativos.
>
>
>>>Se uma permuta��o p n�o-involutiva tem um n�mero �mpar de pontos
>>>
>>>
>n�o-fixos, ent�o sua inversa q gera um termo que � igual em m�dulo ao termo
>gerado por p, mas tem sinal oposto, logo os dois termos se cancelam. Agora
>considere todas as permuta��es com k pontos n�o fixos, k par. Ent�o os
>termos gerados por essas permuta��es s�o da forma 2*(-1)^m*P, onde m � 0 ou
>1 e P � um produt�rio de um n�me
>
>
>>>s associados � permuta��o que n�o s�o 1 e que est�o na metade superior da
>>>
>>>
>matriz -- escolher os termos daqui � sempre poss�vel se mexermos no m
>apropriadamente).
>
>
>>>Eu acho que n�o sei passsar muito daqui. A minha id�ia era agrupar esses
>>>
>>>
>�ltimos termos com os termos quadrados perfeitos de mesmo grau para formar
>novos quadrados perfeitos maiores, assim retirando os termos que podem ser
>negativos de circula��o.
>
>
>>>Pergunta 1: � sempre poss�vel agrupar os termos dessa forma?
>>>
>>>Pergunta 2: m depende s� de k (ou melhor ainda, n�o depende de nada)? Se
>>>
>>>
>sim, a resposta � pergunta 1 parece ser bem mais f�cil.
>
>
>>>Pergunta 3 (ao Morgado): Na sua opini�o, isso est� no n�vel do ITA?
>>>
>>>Se eu tiver alguma id�ia interessante sobre as perguntas 1 e 2, eu mando
>>>
>>>
>para a lista.
>
>
>>>[]s,
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>=========================================================================
>>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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