Re: [obm-l] Problema de matrizes

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Daibert,

Minha solução é muitíssimo avançada, precisarás de anos de estudos para
compreendê-la... mas se você tentar, quem sabe consiga ainda hoje.

Eu estou usando algumas propriedades bem simples sobre matrizes. Por
exemplo, se A é uma matriz quadrada e suas colunas (vetores com n
coordenadas) são A = [c_1 c_2 ... c_n] então a matriz é inversível (isto é,
existe uma outra matriz B tal que AB = matriz identidade) se e somente se
podemos encontrar constantes reais (nem todas nulas) v_1, v_2, ..., v_n tais
que v_1*c_1 + ... + v_n*c_n é o vetor nulo. Esta expressão pode ser
reescrita como Av = vetor nulo, onde v é a matriz coluna 1 por n com
coordenadas v_1, v_2, ..., v_n. Fora esta propriedade, só uso fatos muito
simples que certamente se ensinam no segundo grau.

Primeiro, suponho por absurdo que existe um vetor não-nulo (pense como uma
matriz 1 por n) v tal que

(A + I)*v = 0 (este zero sendo a matriz 1 por n com zeros em suas
coordenadas)

Ou seja, estou supondo (pelo que discuti no primeiro parágrafo) que a matriz
não é inversível. Pretendo chegar a uma contradição para concluir que esta
hipótese é furada e portanto A + I deve ser inversível. (esta técnica de
demonstração é conhecida como redução ao absurdo e é muito freqüente em
matemática). Multiplicamos as matrizes (esta é a propriedade distribuitiva,
que você deve conhecer)

A*v + I*v = 0

A matriz I mantém qualquer matriz, ou seja

A*v + v = 0, daí
A*v = - v

Nós sabemos, da hipótese, que A^3 = k*A onde k é um número real diferente de
1. Isto é uma igualdade de matrizes. Se esta igualdade vale, podemos
multiplicar os dois lados por uma matriz e a igualdade continará valendo
(concordas?). Multiplique então pela nossa matriz (ou vetor) v. Deve valer:

A^3*v = k*A*v                (1)

Vamos trabalhar com essas duas expressões. A primeira é o produto de quatro
matrizes, a saber, A*A*A*v. Como o produto de matrizes é associativo (=tanto
faz a ordem da multiplicação) podemos associá-las assim

A*( A* (A*v) )

A expressão bem de dentro nós já calculamos. Daí a expressão fica

A*(A * (-v) ) = - A*( A*v )

Novamente a expressão do meio já foi calculada, daí ela fica

- A * ( A*v ) = - A * ( -v ) = A * v = - v

Ou seja

A^3*v = - v

Por outro lado

k*A*v = k * (A*v) = k*( - v) = - k*v

Daí igualando as expressões em (1)

- v = - k * v
v = k * v

Pense nesta expressão. Temos a matriz v à esquerda e a mesma matriz v à
direita, só que com todos suas coordenadas multiplicadas por k. Para valer
essa expressão ou a matriz (vetor) v é cheio de zeros (o que contraria o que
dissemos de v lá no começo) ou então o numero real k é igual a 1 (o que
contraria o enunciado). Conclusão: não pode valer a hipótese de que A + I é
não inversível, pois ela nos conduz a uma contradição.

Espero que agora você já tenha penetrado no cálculo vetorial superior. ;)

Abração!
Duda.





From: "Alexandre Daibert" <alexandredaibert2@ig.com.br>
> Ih, desculpa aí mas eu sou soh vestibulando do ITA, ainda naum cheguei
> nessa parte de cálculo vetorial de curso superior
> :-P
> mas valeu mesmo assim
>
> Alexandre Daibert
>
>
> Eduardo Casagrande Stabel escreveu:
>
> >Oi Alexandre.
> >
> >Vou resolver com a mesma idéia que resolvi o outro.
> >
> >Assuma que A é uma matriz quadrada que satisfaz A^3 = kA onde k <> 1.
Agora
> >suponha, por hipótese de absurdo, que A + I não é uma matriz inversível.
> >Portanto deve existir um vetor não-nulo real v tal que (A + I)v = 0, daí
Av
> >= -v. Vamos então calcular A^3v e kAv e compará-los. Temos A^3v =
> >A^2(-v)=Av=-v. E temos kAv = -kv. Sabemos que A^3 = kA, o que implica
A^3u =
> >kAu para todo vetor u, em particular para o nosso amigo v. Portanto A^3v
> >= -v = -kv = kAv. Ora se vale v = kv, uma das duas coisas tem de ser
> >verdade: (1) k tem de valer 1, o que contraria a hipótese do enunciado;
(2)
> >v tem de ser nulo, o que contraria nossa hipótese de que v é não-nulo.
> >Conclusão: A + I tem de ser inversível.
> >
> >Abraço,
> >Duda.
> >
> >From: "Alexandre Daibert" <alexandredaibert2@ig.com.br>
> >
> >
> >>Fábio,
> >>Olha, eu não sou o Morgado não, mas vou te dar a opinião minha sobre a
> >>pergunta 3. Eu estou tentando vestibular para o ITA pela segunda vez e
> >>acho q esta resolução tah meio difícil comparando com a imensa maioria
> >>das questões do ITA pelo menos (pra falar verdade eu naum entendi
> >>direito, hehehe).
> >>:)
> >>
> >> Lembram daquela quetão do IME do ano passado, a número 10? deixa eu soh
> >>por o enunciado dela aki:
> >>"Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um número
> >>real diferente de 1. Sabendo-se que A^3=kA, prove que a matriz A+I é
> >>invertível, onde I é a matriz identidade n x n"
> >>Eu lembro de ter visto uma solução deste problema por sistemas lineares
> >>homogêneos. Alguém tem alguma solução deste problema do IME por este
> >>caminho?? talvez ajudasse em algo...
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>Fábio Dias Moreira escreveu:
> >>
> >>
> >>
> >>>---------- Cabeçalho inicial  -----------
> >>>
> >>>De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
> >>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>>Cópia:
> >>>Data: Mon, 21 Jul 2003 19:16:47 -0300 (EST)
> >>>Assunto: Re: [obm-l] Problema de matrizes
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>>Nao eh dificil dar uma soluçao usando autovalores. Veja a soluçao
> >>>>
> >>>>
> >enviada pelo Stabel, que eh otima, e que consegue usar autovalores de
forma
> >compreensivel a (bons) alunos do ensino medio. Mas, sei la, continuo
> >desconfiado que deve haver uma soluçao que nao va alem de determinantes e
> >sistemas de equaçoes lineares. Algo que provasse diretamente que A
> >anti-simetrica real implicaria det(A+I) diferente de 0.
> >
> >
> >>>>[...]
> >>>>
> >>>>
> >>>>
> >>>>
> >>>Eu acho que tenho uma solução elementar parcial para o problema:
> >>>
> >>>Seja nxn o tamanho da matriz A. Seja P o conjunto das permutações de
> >>>
> >>>
> >comprimento n). Seja p uma permutação de P. Se p não for uma involução,
tome
> >sua inversa q. Olhe para os termos associados a p e q no determinante da
> >matriz A+I. Como pq = i, onde i é a identidade de P, p e q têm a mesma
> >paridade, logo os termos associados têm, a priori, o mesmo sinal. Mas se
x
> >aparece num dos termos, então -x aparece no termo oposto; logo um dos
termos
> >é (-1)^k o outro, onde k é o número de pontos não-fixos, i.e. x tais que
> >p(x) != x.
> >
> >
> >>>Caso pp = i, eu afirmo que o termo associado é certamente não-negativo.
> >>>
> >>>
> >Note que então que os ciclos de p têm comprimento no máximo 2. Logo o
termo
> >pode ser construído do termo associado à identidade (que vale 1) se
fizermos
> >inversões disjuntas. Cada inversão troca um 1*1 por um -x*x = -x^2, mas
> >também multiplica por -1 por causa da inversão da paridade. Logo o termo
é
> >multiplicado por x^2, certamente não-negativos.
> >
> >
> >>>Se uma permutação p não-involutiva tem um número ímpar de pontos
> >>>
> >>>
> >não-fixos, então sua inversa q gera um termo que é igual em módulo ao
termo
> >gerado por p, mas tem sinal oposto, logo os dois termos se cancelam.
Agora
> >considere todas as permutações com k pontos não fixos, k par. Então os
> >termos gerados por essas permutações são da forma 2*(-1)^m*P, onde m é 0
ou
> >1 e P é um produtório de um núme
> >
> >
> >>>s associados à permutação que não são 1 e que estão na metade superior
da
> >>>
> >>>
> >matriz -- escolher os termos daqui é sempre possível se mexermos no m
> >apropriadamente).
> >
> >
> >>>Eu acho que não sei passsar muito daqui. A minha idéia era agrupar
esses
> >>>
> >>>
> >últimos termos com os termos quadrados perfeitos de mesmo grau para
formar
> >novos quadrados perfeitos maiores, assim retirando os termos que podem
ser
> >negativos de circulação.
> >
> >
> >>>Pergunta 1: É sempre possível agrupar os termos dessa forma?
> >>>
> >>>Pergunta 2: m depende só de k (ou melhor ainda, não depende de nada)?
Se
> >>>
> >>>
> >sim, a resposta à pergunta 1 parece ser bem mais fácil.
> >
> >
> >>>Pergunta 3 (ao Morgado): Na sua opinião, isso está no nível do ITA?
> >>>
> >>>Se eu tiver alguma idéia interessante sobre as perguntas 1 e 2, eu
mando
> >>>
> >>>
> >para a lista.
> >
> >
> >>>[]s,
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>
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> >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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