[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Recomendação de Filme e Hipercubo

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jun 06, 2003 at 12:12:49PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
> Oi, Nicolau:
> 
> Uma retificação: quando eu disse que não adianta visualizar um hipercubo no
> R^4 eu estava me referindo apenas à minha pessoa.

Claro, eu entendi assim mesmo. Só achei que valia a pena mandar a mensagem
para dar, digamos, outro ponto de vista.

>                                                   Geometria pra mim sempre
> foi um inferno e admito publicamente minha admiração (e também uma certa
> inveja) por quem consegue vislumbrar aquelas construções auxiliares mágicas.
> 
> Não tenho dúvida de que haja gente por aí que entende perfeitamente 4 ou
> mais dimensões (senão não existiriam muitos topologistas, não é mesmo?)

Curiosidade. Antoine, um topólogo conhecido pelo "colar de Antoine",
um conjunto de Cantor em R^3 com complemento não simplesmente conexo,
era cego.

> A seção do cubo pendurado é um hexágono regular, certo?

Certo.

>                                                         A minha pergunta é
> justamente a mesma para um 4-hipercubo pendurado (se bem que o conceito de
> "pendurado" em R^4 é meio problemático pra mim) . Acho que um bom começo pra
> começar a pensar neste problema é aquele seu artigo sobre as coordenadas dos
> vértices dum icosaedro e outros poliedros - nem sempre a posição "padrão" do
> poliedro é a mais conveniente.

Bem, eu disse que pelo menos em alguns casos eu penso em figuras
a várias dimensões geometricamente. Mas explicar, ainda mais por e-mail,
é outra história...

Os 24 pontos de coordenadas inteiras de Z^4 a distância 4 da origem
formam um belo sólido regular, chamado por Schläfli de {3,4,3}.
Os vértices são (+-2, 0, 0, 0), (0, +-2, 0, 0), (0, 0, +-2, 0),
(0, 0, 0, +-2) e (+-1, +-1, +-1, +-1). Há três hipercubos entrelaçados
ai dentro (lembre que o hipercubo tem 16 vértices): um deles é
(+-1, +-1, +-1, +-1) e não nos serve. Os outros dois são formados
pelos oito primeiros vértices (aliás os vértices de um hiperoctaedro)
e metade destes 16, num os vértices onde o produto das coordenadas é 1,
outro onde o produto das coordenadas é -1. Em qualquer um desses dois
é bem claro qual a interseção com um dos quatro subespaços de dimensão 3
dados pelos eixos, não? É um octaedro regular.

Um outro conjunto de vértices para o {3,4,3} é o conjunto dos vetores
de Z^4 de módulo sqrt(2): eles devem ter duas coordenadas iguais a 0
e duas iguas a +-1 (como por exemplo (1,0,-1,0)). Você pode encontrar
três hipercubos entrelaçados lá dentro.

Um politopo é o análogo a um poliedro em dimensão qq.
Um politopo é regular se todas as faces são regulares
e se há simetrias levando qq face em qq face e qq vértice em qq vértice.
Só há 6 politopos regulares em dimensão 4 e 3 em dimensão n, n > 4.
Assim os politopos regulares mais legais moram em dimensão 4:
além do {3,4,3} (que tem 24 faces octaedricas) temos o {5,3,3}
(que tem 120 faces dodecaédricas) e o {3,3,5} (que tem 600 faces tetraédricas).

O dual de um politopo regular é o fecho convexo dos centros das suas faces.
Assim, o dual do cubo é o octaedro e o dual do dodecaedro é o icosaedro.
O {3,4,3} é, além dos polígones regulares e dos hipertetraedro
em qualquer dimensão, o único politopo regular autodual.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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