[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Recomendação de Filme e Hipercubo

["Claudio Buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Nicolau:

Obrigado pela solucao e pela digressao.

A que eu conhecia usa uma base ortogonal do R^4 composta por vetores
contidos em 4 das diagonais do hipercubo de aresta 2a: | x_i | <= a
(i=1,2,3,4):
(1,1,1,1); (1,1,-1,-1); (1,-1,1,-1) e (1,-1,-1,1)

Com relacao a esta base, as coordenadas dos pontos do hipercubo satisfazem o
seguinte sistema de desigualdades:
-a <= y_1 + y_2 + y_3 + y_4 <= a
-a <= y_1 + y_2 - y_3 - y_4 <= a
-a <= y_1 - y_2 + y_3 - y_4 <= a
-a <= y_1 - y_2 - y_3 + y_4 <= a

Nesta base, a equacao do hiperplano eh y_1 = 0.

Logo, o solido da intersecao estah localizado no espaco gerado por
(1,1,-1,-1), (1,-1,1,-1) e (1,-1,-1,1) e as coordenadas dos seus pontos
satisfazem a:
-a <= y_2 + y_3 + y_4 <= a
-a <= y_2 - y_3 - y_4 <= a
-a <= - y_2 + y_3 - y_4 <= a
-a <= - y_2 - y_3 + y_4 <= a

Isso define uma bola fechada centrada na origem e de raio = a (usando a
norma da soma), ou seja, um octaedro regular.

Um abraco,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, June 06, 2003 5:55 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Recomendação de Filme e
Hipercubo


> On Fri, Jun 06, 2003 at 12:12:49PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
> > Oi, Nicolau:
> >
> > Uma retificação: quando eu disse que não adianta visualizar um hipercubo
no
> > R^4 eu estava me referindo apenas à minha pessoa.
>
> Claro, eu entendi assim mesmo. Só achei que valia a pena mandar a mensagem
> para dar, digamos, outro ponto de vista.
>
> >                                                   Geometria pra mim
sempre
> > foi um inferno e admito publicamente minha admiração (e também uma certa
> > inveja) por quem consegue vislumbrar aquelas construções auxiliares
mágicas.
> >
> > Não tenho dúvida de que haja gente por aí que entende perfeitamente 4 ou
> > mais dimensões (senão não existiriam muitos topologistas, não é mesmo?)
>
> Curiosidade. Antoine, um topólogo conhecido pelo "colar de Antoine",
> um conjunto de Cantor em R^3 com complemento não simplesmente conexo,
> era cego.
>
> > A seção do cubo pendurado é um hexágono regular, certo?
>
> Certo.
>
> >                                                         A minha pergunta
é
> > justamente a mesma para um 4-hipercubo pendurado (se bem que o conceito
de
> > "pendurado" em R^4 é meio problemático pra mim) . Acho que um bom começo
pra
> > começar a pensar neste problema é aquele seu artigo sobre as coordenadas
dos
> > vértices dum icosaedro e outros poliedros - nem sempre a posição
"padrão" do
> > poliedro é a mais conveniente.
>
> Bem, eu disse que pelo menos em alguns casos eu penso em figuras
> a várias dimensões geometricamente. Mas explicar, ainda mais por e-mail,
> é outra história...
>
> Os 24 pontos de coordenadas inteiras de Z^4 a distância 4 da origem
> formam um belo sólido regular, chamado por Schläfli de {3,4,3}.
> Os vértices são (+-2, 0, 0, 0), (0, +-2, 0, 0), (0, 0, +-2, 0),
> (0, 0, 0, +-2) e (+-1, +-1, +-1, +-1). Há três hipercubos entrelaçados
> ai dentro (lembre que o hipercubo tem 16 vértices): um deles é
> (+-1, +-1, +-1, +-1) e não nos serve. Os outros dois são formados
> pelos oito primeiros vértices (aliás os vértices de um hiperoctaedro)
> e metade destes 16, num os vértices onde o produto das coordenadas é 1,
> outro onde o produto das coordenadas é -1. Em qualquer um desses dois
> é bem claro qual a interseção com um dos quatro subespaços de dimensão 3
> dados pelos eixos, não? É um octaedro regular.
>
> Um outro conjunto de vértices para o {3,4,3} é o conjunto dos vetores
> de Z^4 de módulo sqrt(2): eles devem ter duas coordenadas iguais a 0
> e duas iguas a +-1 (como por exemplo (1,0,-1,0)). Você pode encontrar
> três hipercubos entrelaçados lá dentro.
>
> Um politopo é o análogo a um poliedro em dimensão qq.
> Um politopo é regular se todas as faces são regulares
> e se há simetrias levando qq face em qq face e qq vértice em qq vértice.
> Só há 6 politopos regulares em dimensão 4 e 3 em dimensão n, n > 4.
> Assim os politopos regulares mais legais moram em dimensão 4:
> além do {3,4,3} (que tem 24 faces octaedricas) temos o {5,3,3}
> (que tem 120 faces dodecaédricas) e o {3,3,5} (que tem 600 faces
tetraédricas).
>
> O dual de um politopo regular é o fecho convexo dos centros das suas
faces.
> Assim, o dual do cubo é o octaedro e o dual do dodecaedro é o icosaedro.
> O {3,4,3} é, além dos polígones regulares e dos hipertetraedro
> em qualquer dimensão, o único politopo regular autodual.
>
> []s, N.
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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