Re: [obm-l] Duvidas

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jun 06, 2003 at 01:54:28AM -0300, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira wrote:
>   Caro Duda,
>   Um texto basico qualquer sobre superficies de Riemann e' suficiente. No
> curso que eu fiz no IMPA (ha' algum tempo...) nos usamos o Farkas-Kra. Na
> verdade a solucao que eu conheco e' do Nicolau. Se nao me engano a ideia e'
> complexificar os circulos e considerar o conjunto dos pares de pontos (p,q)
> onde p pertence ao circulo "de fora" e q ao "de dentro" de modo que a reta
> pq e' tandente ao circulo "de dentro". Eu pus essas aspas pois ao
> complexificarmos os circulos (i.e., ao considerarmos conjuntos definidos
> pelas mesmas equacoes que as dos circulos, mas considerando as variaveis
> complexas), eles passam a se intersectar, e na verdade esses pontos de
> intersecao tem um papel especial: a pontos genericos p d circulo de fora
> correspondem dois pontos q no de dentro, mas se p e' um ponto de intersecao
> dos dois circulos entao so' corresponde a ele o ponto p. Esses pares (p,q)
> formam uma superficie de Riemann M, e f(p,q)=p e' uma funcao de grau 2 de M
> no circulo de fora (que, complexificado, e' uma esfera de Riemann). Como f
> tem dois pontos de ramificacao (os dois pontos de intersecao dos "circulos"),
> o teorema de Riemann-Hurwitz mostra que M tem que ser um toro.

Desculpe, só agora relendo percebi o erro.
Não são dois pontos de interseção, são quatro.
Duas cônicas se intersectam sempre em quatro pontos
se contados com multiplicidade.
No nosso caso os cículos são, sem perda de generalidade:

x^2 + y^2 = a^2
x^2 + x + y^2 = b^2

o que projetivizando vira

x^2 + y^2 - a^2 z^2 = 0
x^2 + xz + y^2 - b^2 z^2 = 0

que têm as interseções

(b^2, +-sqrt(a^2 - b^4), 1)
(1, +-i, 0)

donde os quatro pontos são distintos.
 
Aliás se fossem dois pontos de ramificação a superfície seria uma esfera.
Sendo quatro, a superfície é um toro, como o Gugu corretamente afirmou.

> Agora
> consideramos a funcao g que leva (p,q) em (p',q'), onde p' e p sao os pontos
> de intersecao de pq com o circulo "de fora" e p'q e p'q' sao as duas
> tangentes ao circulo "de dentro" passando por p'. Isso da' um automorfismo
> (bijecao analitica com inversa analitica) de M.

Certo, mas talvez seja melhor ir com um pouco mais de calma.
A função f1 de M em M que leva (p,q) em (p,q')
(a outra tangente passando por p) é uma involução analítica;
seus quatro pontos fixos são quando p é um dos quatro pontos de interseção.
Analogamente, a função f2 de M em M que leva (p,q) em (p',q)
(a interseção da reta tangente com o círculo de fora)
também é uma involução analítica;
ela também tem quatro pontos fixos correspondentes às quatro retas
tangentes simultaneamente aos dois círculos.
A função g é a composta destas duas involuções.

> Como todo automorfismo de M,
> que e' um toro, se levanta a uma translacao de C,

Todo automorfismo não;
as funções f1 e f2 levantam para funções da forma
z |-> c1 - z e z |-> c2 - z, respectivamente.
Isso pode ser visto pelo fato delas serem involuções
e de terem 4 pontos fixos.
Compondo as duas vemos que g efetivamente levanta para uma translação.

> e como g tem um ponto
> periodicos de periodo n, entao g^n e' a identidade de M, e acabou. Nao e'
> isso, Nicolau ?

Acho que agora está certo.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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