Re: [obm-l] Duvidas

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

  Caro Duda,
  Um texto basico qualquer sobre superficies de Riemann e' suficiente. No
curso que eu fiz no IMPA (ha' algum tempo...) nos usamos o Farkas-Kra. Na
verdade a solucao que eu conheco e' do Nicolau. Se nao me engano a ideia e'
complexificar os circulos e considerar o conjunto dos pares de pontos (p,q)
onde p pertence ao circulo "de fora" e q ao "de dentro" de modo que a reta
pq e' tandente ao circulo "de dentro". Eu pus essas aspas pois ao
complexificarmos os circulos (i.e., ao considerarmos conjuntos definidos
pelas mesmas equacoes que as dos circulos, mas considerando as variaveis
complexas), eles passam a se intersectar, e na verdade esses pontos de
intersecao tem um papel especial: a pontos genericos p d circulo de fora
correspondem dois pontos q no de dentro, mas se p e' um ponto de intersecao
dos dois circulos entao so' corresponde a ele o ponto p. Esses pares (p,q)
formam uma superficie de Riemann M, e f(p,q)=p e' uma funcao de grau 2 de M
no circulo de fora (que, complexificado, e' uma esfera de Riemann). Como f
tem dois pontos de ramificacao (os dois pontos de intersecao dos "circulos"),
o teorema de Riemann-Hurwitz mostra que M tem que ser um toro.  Agora
consideramos a funcao g que leva (p,q) em (p',q'), onde p' e p sao os pontos
de intersecao de pq com o circulo "de fora" e p'q e p'q' sao as duas
tangentes ao circulo "de dentro" passando por p'. Isso da' um automorfismo
(bijecao analitica com inversa analitica) de M. Como todo automorfismo de M,
que e' um toro, se levanta a uma translacao de C, e como g tem um ponto
periodicos de periodo n, entao g^n e' a identidade de M, e acabou. Nao e'
isso, Nicolau ?
   Abracos,
            Gugu

>
>Olá Gugu,
>
>o porismo de Poncelet é um resultado muito interessante. Eu gostaria de
>saber mais a respeito, se você souberem dar referências sobre quais assuntos
>preciso saber para estudá-lo e onde posso encontrar sua demonstração, eu
>ficaria grato.
>
>Outro dia fiz a pergunta sobre qual a soma máxima dos coeficientes dos
>módulos de um polinômio de grau <= n com a propriedade |p(x)|<=1 para todo
>|x|<=1. Você respondeu que possivelmente eram os polinômios de Chebychev. Eu
>recebi sua resposta, e fui estudar em um livro de Teoria da Aproximação
>alguns fatos básicos, antes de estudar os polinômios de Chebychev. Em alguns
>dias, responderei à sua mensagem.
>
>Grato!
>Um abraço,
>Duda.
>
>From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
>>    Caro Wagner,
>>    De fato eu ainda nao achei nenhuma evidencia de que o Poncelet soubesse
>> como provar o seu porisma. Seria bom se alguem tivesse alguma boa
>referencia
>> sobre isso...As provas que eu e o Nicolau conhecemos nao sao nada
>> elementares (a mais simples usa fatos sobre superficies de Riemann -
>> nao e' isso, Nicolau ?).
>>    Abracos,
>>             Gugu
>>
>> >
>> >A palavra porisma eh, na verdade grega.
>> >Euclides escreveu um livro com exatamente este titulo:
>> >"Porismas", mas esta perdido.  Infelizmente nao sabemos
>> >o que ele continha.
>> >Sobre o significado que dei dessa palavra, quero dizer que
>> >copiei do dicionario "Pillet et Dumoulin" editado no
>> >seculo 19.
>> >Eh claro que o porisma de Poncelet nao eh nada facil, mas
>> >talvez essa palavra tambem tenha sido usada como sinonimo
>> >de "conjectura", algo que nao eh ainda um teorema.
>> >
>> >Abracos,
>> >
>> >Wagner.
>> >
>> >
>> >----------
>> >>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
>> >>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >>Subject: Re: [obm-l] Duvidas
>> >>Date: Tue, Jun 3, 2003, 9:16 PM
>> >>
>> >
>> >> On Tue, Jun 03, 2003 at 08:47:46PM -0300, Eduardo Wagner wrote:
>> >>> Porismo nao consta dos nossos dicionarios.
>> >>> Porismo vem do frances "porisme" que significa
>> >>> uma afirmacao muito facil de demonstrar. Pode ser um lema
>> >>> ou um corolario, algo que nao tem o "status" de teorema.
>> >>
>> >> O porismo de Poncelet é tudo, menos "muito fácil de demonstrar".
>> >>
>> >> Para quem não sabe, o porismo diz o seguinte:
>> >>
>> >> Sejam C1 e C2 dois círculos, C2 dentro de C1 mas não concêntricos.
>> >> Seja P0 um ponto de C1; por P0 trace uma tangente a C2 para obter P1,
>> >> a outra interseção desta tangente com C1, trace outra tangente a C2
>> >> para obter P2 e assim por diante como na figura em anexo.
>> >> Suponha que Pn = P0 onde n é um inteiro positivo. Comece agora com
>outro
>> >> ponto Q0 em C1 e repita a construção para obter Q1, Q2, ..., Qn.
>> >>
>> >> Prove que Qn = Q0.
>> >>
>> >> A mesma coisa vale para elipses ou cônicas em geral
>> >> e isso segue facilmente do caso com círculos usando
>> >> transformações projetivas.
>> >>
>> >> []s, N.
>> >>
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>> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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