Re: [obm-l] problema

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Caro Claudio,
   E' interessante notar que isso da' uma prova da desigualdade das medias
aritmetica e geometrica usando a desigualdade do rearranjo (nesse caso na
versao que determina o menor produto interno possivel de um vetor por um
rearranjo seu) : sejam x(1),...,x(n) positivos. Nao ha' perda de
generalidade em supor que seu produto e' 1 (senao dividimos todos pela sua
media geometrica). Seja a(1)=1, a(2)=x(1), a(3)=x(1).x(2), ... ,
a(n)=x(1)x(2)...x(n-1). Note que a(n)=1/x(n). Temos entao, pela desigualdade
abaixo, n<=a(1)/a(n)+a(2)/a(1)+a(3)/a(2)+...+a(n)/a(n-1)=
=x(n)+x(1)+x(2)+...+x(n-1), que e' o que queriamos provar.
   Abracos,
           Gugu

>
>Oi, Ricardo:
>
>Na verdade, isso sai por uma aplicacao direta da desigualdade do =
>rearranjo.
>
>Suponhamos s.p.d.g. que 0 < a(1) <=3D a(2) <=3D ... <=3D a(n).
>
>Entao, 0 < 1/a(n) <=3D 1/a(n-1) <=3D ... <=3D 1/a(1)
>
>A desigualdade do rearranjo diz que, para qualquer reordenacao b(1), =
>..., b(n) dos a(i), vale o seguinte:
>a(1)*(1/a(1)) + a(2)*(1/a(2)) + ... + a(n)*(1/a(n)) <=3D b(1)*(1/a(1)) + =
>b(2)*(1/a(2)) + ... + b(n)*(1/a(n))
>
>Ou seja:
>1 + 1 + .... + 1 =3D n <=3D b(1)/a(1) + b(2)/a(2) + ... + b(n)/a(n)
>
>Um abraco,
>Claudio.
>  ----- Original Message -----=20
>  From: Ricardo Prins=20
>  To: obm-l@mat.puc-rio.br=20
>  Sent: Thursday, June 05, 2003 9:48 PM
>  Subject: [obm-l] problema
>
>
>  =E9, morgado, n=E3o consegui. desisto.=20
>
>  prove que, se b(1),b(2),b(3),...,b(n) =E9 uma reordena=E7=E3o dos =
>n=FAmeros positivos a(1),a(2),...,a(n), ent=E3o
>
>  b(1)/a(1) + b(2)/a(2) + ... + b(n)/a(n) >=3D n
>
>  bom, a dica foi usar desigualdade das m=E9dias...t=E1... somat=F3rio =
>dos a(i)/n >=3D raiz en=E9sima do produt=F3rio dos a(i)...mas n=E3o =
>consigo pensar em mais nada....tentei indu=E7=E3o tb n=E3o saiu...o que =
>fa=E7o?
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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