Re: [obm-l] problema

["Ricardo Prins" <ricardoprins@xxxxxxxxxxx>]

Muito obrigado a todos vocês! Ontem eu acabei achando na Eureka 5 muitas
coisas interessantes quanto à desigualdades em geral...preciso estudar mais!
aqui vai outro problema que eu não consegui resolver...é do lidski...

uma sucessão infinita de números x1,x2,x3,...,xn,... (x1<>0) para qualquer
n>=3 satisfaz à condição
(x1²+x2²+....+xn-1²)(x2²+x3³+...+xn²)=(x1x2+x2x3+...+xn-1xn)²

demonstrar que x1,x2,x3,...,xn,... são termos sucessivos de uma p.g.
----- Original Message -----
From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, June 06, 2003 1:27 AM
Subject: Re: [obm-l] problema


>    Caro Claudio,
>    E' interessante notar que isso da' uma prova da desigualdade das medias
> aritmetica e geometrica usando a desigualdade do rearranjo (nesse caso na
> versao que determina o menor produto interno possivel de um vetor por um
> rearranjo seu) : sejam x(1),...,x(n) positivos. Nao ha' perda de
> generalidade em supor que seu produto e' 1 (senao dividimos todos pela sua
> media geometrica). Seja a(1)=1, a(2)=x(1), a(3)=x(1).x(2), ... ,
> a(n)=x(1)x(2)...x(n-1). Note que a(n)=1/x(n). Temos entao, pela
desigualdade
> abaixo, n<=a(1)/a(n)+a(2)/a(1)+a(3)/a(2)+...+a(n)/a(n-1)=
> =x(n)+x(1)+x(2)+...+x(n-1), que e' o que queriamos provar.
>    Abracos,
>            Gugu
>
> >
> >Oi, Ricardo:
> >
> >Na verdade, isso sai por uma aplicacao direta da desigualdade do =
> >rearranjo.
> >
> >Suponhamos s.p.d.g. que 0 < a(1) <=3D a(2) <=3D ... <=3D a(n).
> >
> >Entao, 0 < 1/a(n) <=3D 1/a(n-1) <=3D ... <=3D 1/a(1)
> >
> >A desigualdade do rearranjo diz que, para qualquer reordenacao b(1), =
> >..., b(n) dos a(i), vale o seguinte:
> >a(1)*(1/a(1)) + a(2)*(1/a(2)) + ... + a(n)*(1/a(n)) <=3D b(1)*(1/a(1)) +
=
> >b(2)*(1/a(2)) + ... + b(n)*(1/a(n))
> >
> >Ou seja:
> >1 + 1 + .... + 1 =3D n <=3D b(1)/a(1) + b(2)/a(2) + ... + b(n)/a(n)
> >
> >Um abraco,
> >Claudio.
> >  ----- Original Message -----=20
> >  From: Ricardo Prins=20
> >  To: obm-l@mat.puc-rio.br=20
> >  Sent: Thursday, June 05, 2003 9:48 PM
> >  Subject: [obm-l] problema
> >
> >
> >  =E9, morgado, n=E3o consegui. desisto.=20
> >
> >  prove que, se b(1),b(2),b(3),...,b(n) =E9 uma reordena=E7=E3o dos =
> >n=FAmeros positivos a(1),a(2),...,a(n), ent=E3o
> >
> >  b(1)/a(1) + b(2)/a(2) + ... + b(n)/a(n) >=3D n
> >
> >  bom, a dica foi usar desigualdade das m=E9dias...t=E1... somat=F3rio =
> >dos a(i)/n >=3D raiz en=E9sima do produt=F3rio dos a(i)...mas n=E3o =
> >consigo pensar em mais nada....tentei indu=E7=E3o tb n=E3o saiu...o que =
> >fa=E7o?
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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