Re: [obm-l] Norma

[Carlos César de Araújo <cca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Cláudio,

> O que é um corpo ordenado Pitagórico?


Quando examinamos a POSSIBILIDADE de ordenar um corpo, entram em cena SOMAS
DE QUADRADOS. De fato, dado um corpo K, as seguintes condições são
equivalentes:

(i)  EXISTE uma ordem em K;
(ii) Nem todo elemento de K é uma soma de quadrados;
(iii) -1 não é uma soma de quadrados.
(iv) Uma soma de quadrados é nula somente se cada parcela o é.

É fácil provar que (i)=>(ii) e que (ii)<=>(iii)<=>(iv). O difícil é a provar
a EXISTÊNCIA de uma ordem -- digamos, que (iii)=>(i). Tanto quanto sei, a
primeira prova de que (iii)=>(i) é devida a Artin (por volta de 1920).

A noção de corpo "pitagórico" (em inglês, "pythagorean") surge de um
aprofundamento desses fatos, mas não pressupõe que o corpo seja ordenável.

DEFINIÇÃO. Um corpo K é pitagórico sse toda soma de quadrados é um quadrado.

Questão. Como não conheço precedentes na literatura em português, pergunto:
você(s) acha(m) que o adjetivo "pitagoriano" soa melhor?

Exemplo. Q não é pitagórico, pois não existe a em Q tal que 1^2+1^2=a^2.

Para uma "aplicação" desse(s) conceito(s), veja o interessante artigo "The
Principal Axis Theorem over Arbitrary Fields", de D. Mornhinweg, D. B.
Shapiro e K. G. Valente, publicado no AMM (1993, pp. 749-754). Para corpos K
que
sejam ordenáveis e pitagóricos, o Teorema 2 deste artigo fornece duas
caracterizações
da importante Propriedade dos Eixos Principais (que diz que toda K-matriz
simétrica
é ortogonalmente semelhante a uma matriz diagonal).

Há também conexões com o 17o problema de Hilbert e demonstrações
"minimamente
topológicas" (conforme eu diria) do Teorema Fundamental da Álgebra. E por aí
vai...

Carlos César de Araújo
Matemática para Gregos & Troianos
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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