Re: [obm-l] Norma

[Carlos César de Araújo <cca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Prezado Cláudio,

Você QUASE acertou! Primeiro, recordemos que uma NORMA (num IR-espaço V) é
uma função N: V-> IR que satisfaz TRÊS condições, quais sejam (onde todas as
letras são quantificadas universalmente):

(N1) N(v)=0 ==> v=0;
(N2) N(av)=abs(a)N(v), com a em IR;
(N3) N(u+v)<=N(u)+N(v).

EXERCÍCIO. As condições (N2) e (N3) acarretam N(v)>=0 para todo v em V.

OBSERVAÇÃO 1. Satisfeitas APENAS as condições (N2) e (N3), a função N diz-se
uma SEMINORMA. Observo que os matemáticos utilizam prefixos como "semi",
"quase", "pseudo" ou "pré" para derivar noções enfraquecidas de outras.
Exemplos imediatos: semilinear, semigrupo, pseudométrica, pré-ordem.

"Seu" Teorema. Se N é uma norma e T é uma transformação linear, então é
fácil ver que a correspondência

v --> N(T(v))

define uma seminorma: a composta NoT satisfaz (N2) e (N3). Vejamos se
satisfaz (N1). Suponha N(T(v))=0. Então T(v)=0 (pois N é uma norma).
Claramente, NoT será uma norma se pudermos provar que

T(v)=0 ==> v=0

para todo v em V. Mas esta condição sobre T equivale a supor T injetora. Em
resumo:

Teorema: Se N:V->IR é uma norma e T: V->V é linear e INJETORA, então NoT é
uma norma.

OBSERVAÇÃO 2. Se não me engano, este fato é oferecido como exercício em
textos básicos de álgebra linear como os de Lang.

Abraços,

Carlos César de Araújo
Matemática para Gregos & Troianos
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG

-------------------------------------------------------
----- Original Message -----
From: "Cláudio (Prática)" <claudio@praticacorretora.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, May 27, 2003 4:37 PM
Subject: Re: [obm-l] Norma


Oi, Tertuliano:

Naturalmente, no braço deve sair.

No entanto, repare que a sua norma (vamos chamá-la de F(a,b)) é igual a:
F(a,b) = raiz( a^2 + (raiz(2)a + b)^2 )

Se voce definir a transformação linear T: R^2 --> R^2 como sendo:
T(x,y) = (x,raiz(2)x + y), você vai ver que:

F(a,b) = N(T(a,b)), onde N(x,y) é a norma euclidiana usual, a qual provém do
produto interno usual em R^2.

Agora, seria legal se existisse um teorema que dissesse o seguinte:
Dado um espaço vetorial normado V sobre um corpo F e um operador linear T:
V --> V.
Se a norma N: V^2 --> F provém de um produto interno de V, então, a função:
NoT: V^2 --> F, definida como NoT(x) = N(T(x)) também é uma norma.

Se existir um tal teorema, então acabou (e o que é melhor: sem nenhum
braço).

Minha pergunta é: Esse teorema existe?

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
  From: Tertuliano Carneiro
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Tuesday, May 27, 2003 12:24 PM
  Subject: [obm-l] Norma


  Olá para todos!!!


  Seja  /x/ = [3a^2 + 2(sqwert2)ab +b^2]^1/2, onde x = (a,b) é um vetor do
R2 e /x/ é o módulo de x. Verificar se isso define uma norma.


  Sem mais!




----------------------------------------------------------------------------
--
  Yahoo! Mail
  O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso
POP3, filtro contra spam.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================