Re: [obm-l] Norma

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Carlos:

Obrigado pela clarificação.
Eu tinha certeza de que havia uma forma não-braçal de se resolver o
problema.

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Carlos César de Araújo" <cca@gregosetroianos.mat.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, May 27, 2003 10:51 PM
Subject: Re: [obm-l] Norma


> Prezado Cláudio,
>
> Você QUASE acertou! Primeiro, recordemos que uma NORMA (num IR-espaço V) é
> uma função N: V-> IR que satisfaz TRÊS condições, quais sejam (onde todas
as
> letras são quantificadas universalmente):
>
> (N1) N(v)=0 ==> v=0;
> (N2) N(av)=abs(a)N(v), com a em IR;
> (N3) N(u+v)<=N(u)+N(v).
>
> EXERCÍCIO. As condições (N2) e (N3) acarretam N(v)>=0 para todo v em V.
>
(N2) com a = 0 ==> N(0) = N(0v) = 0N(v) = 0.
(N3) com v = -u ==> 0 = N(0) = N(u +(-u)) <= N(u) + N(-u)
(N2) com a = -1 ==> N(-u) = N(-1u) = |-1|N(u) = N(u)
Logo, 0 <= N(u) + N(u) = 2N(u) ==> 0 <= N(u) (desde que 2 <> 0 em F)

> OBSERVAÇÃO 1. Satisfeitas APENAS as condições (N2) e (N3), a função N
diz-se
> uma SEMINORMA. Observo que os matemáticos utilizam prefixos como "semi",
> "quase", "pseudo" ou "pré" para derivar noções enfraquecidas de outras.
> Exemplos imediatos: semilinear, semigrupo, pseudométrica, pré-ordem.
>
> "Seu" Teorema. Se N é uma norma e T é uma transformação linear, então é
> fácil ver que a correspondência
>
> v --> N(T(v))
>
> define uma seminorma: a composta NoT satisfaz (N2) e (N3).

De fato:
(N2) NoT(av) = N(T(av)) = N(aT(v)) = |a|N(T(v)) = |a|NoT(v)
(N3) NoT(u+v) = N(T(u+v)) = N(T(u)+T(v)) <= N(T(u)) + N(T(v)) = NoT(u) +
NoT(v)

> Vejamos se
> satisfaz (N1). Suponha N(T(v))=0. Então T(v)=0 (pois N é uma norma).
> Claramente, NoT será uma norma se pudermos provar que
>
> T(v)=0 ==> v=0
>
> para todo v em V. Mas esta condição sobre T equivale a supor T injetora.
Em
> resumo:
>
> Teorema: Se N:V->IR é uma norma e T: V->V é linear e INJETORA, então NoT é
> uma norma.
>

Ontem em casa eu pensei num contraexemplo pro meu "teorema":
V = R^2, N(x,y) = raiz(x^2+y^2) e T(x,y) = (x,0).
Nesse caso, NoT(x,y) = |x| e teríamos NoT(0,1) = 0 mesmo sendo (0,1) <>
(0,0), contrariando (N1).

Então, eu imaginei que seria preciso adicionar a condição de T ser
inversível, mas agora vejo que isso só é necessário se V tem dimensão finita
(caso em que T injetora <==> T sobrejetora). Com dim(V) infinita, podemos
ter T linear e injetora sem ser sobrejetora (por exemplo, V = espaço das
sequencias infinitas de nos. reais e T:V --> V definida por
T(a_1,a_2,a_3,....) = (0,a_1,a_2,a_3,...) ==> T não é sobrejetora).

> OBSERVAÇÃO 2. Se não me engano, este fato é oferecido como exercício em
> textos básicos de álgebra linear como os de Lang.
>
> Abraços,
>
> Carlos César de Araújo
> Matemática para Gregos & Troianos
> www.gregosetroianos.mat.br
> Belo Horizonte, MG
>
> -------------------------------------------------------
> ----- Original Message -----
> From: "Cláudio (Prática)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Tuesday, May 27, 2003 4:37 PM
> Subject: Re: [obm-l] Norma
>
>
> Oi, Tertuliano:
>
> Naturalmente, no braço deve sair.
>
> No entanto, repare que a sua norma (vamos chamá-la de F(a,b)) é igual a:
> F(a,b) = raiz( a^2 + (raiz(2)a + b)^2 )
>
> Se voce definir a transformação linear T: R^2 --> R^2 como sendo:
> T(x,y) = (x,raiz(2)x + y), você vai ver que:
>
> F(a,b) = N(T(a,b)), onde N(x,y) é a norma euclidiana usual, a qual provém
do
> produto interno usual em R^2.
>
> Agora, seria legal se existisse um teorema que dissesse o seguinte:
> Dado um espaço vetorial normado V sobre um corpo F e um operador linear T:
> V --> V.
> Se a norma N: V^2 --> F provém de um produto interno de V, então, a
função:
> NoT: V^2 --> F, definida como NoT(x) = N(T(x)) também é uma norma.
>
> Se existir um tal teorema, então acabou (e o que é melhor: sem nenhum
> braço).
>
> Minha pergunta é: Esse teorema existe?
>
> Um abraço,
> Claudio.
>
> ----- Original Message -----
>   From: Tertuliano Carneiro
>   To: obm-l@mat.puc-rio.br
>   Sent: Tuesday, May 27, 2003 12:24 PM
>   Subject: [obm-l] Norma
>
>
>   Olá para todos!!!
>
>
>   Seja  /x/ = [3a^2 + 2(sqwert2)ab +b^2]^1/2, onde x = (a,b) é um vetor do
> R2 e /x/ é o módulo de x. Verificar se isso define uma norma.
>
>
>   Sem mais!
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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