Re: [obm-l] Norma

[Carlos César de Araújo <cca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Olá mais uma vez, Cláudio. Li com atenção as suas observações e resoluções,
especialmente a seguinte passagem:


> > EXERCÍCIO. As condições (N2) e (N3) acarretam N(v)>=0 para todo v em V.
> >
> (N2) com a = 0 ==> N(0) = N(0v) = 0N(v) = 0.
> (N3) com v = -u ==> 0 = N(0) = N(u +(-u)) <= N(u) + N(-u)
> (N2) com a = -1 ==> N(-u) = N(-1u) = |-1|N(u) = N(u)
> Logo, 0 <= N(u) + N(u) = 2N(u) ==> 0 <= N(u) (desde que 2 <> 0 em F)

O que me intrigou aqui foi a restrição "desde que 2 <> 0 em F". Claramente,
você deseja trabalhar com uma definição bastante geral de "norma" para
espaços vetoriais ao substituir meu "IR" por um corpo F (qualquer) e
ressaltar que F deve ter CARACTERÍSTICA zero. Todavia, observe: o seu
raciocínio JÁ pressupõe uma relação de ORDEM <= em F, certo? Estaremos,
então, trabalhando num corpo ordenado? Nesse caso, a condição "2 <> 0" é
desnecessária, já que, num tal corpo, 2>1>0.

Dos textos de álgebra linear tradicionais, os mais ambiciosos começam
falando em K-espaços (onde K é QUALQUER corpo), mas, numa certa altura,
começam a supor K=IR ou K=C. Devido à minha obsessão pela "lexicologia" da
matemática, tenho notado que o termo "norma" aparece na literatura aplicado
a diferentes estruturas -- como em "anéis normados" --, mas no contexto dos
ESPAÇOS VETORIAIS, uma "norma" é, via de regra, uma função com valores em
IR_+, mesmo quando o corpo de escalares é C. Digo isto mesmo sabendo da
existência de uma ampla e interessante teoria dos corpos ordenados, a qual,
porém, foi desenvolvida por volta de 1920 basicamente por motivos algébricos
(tentativas de provar o 17o problema de Hilbert). Alguns dos teoremas mais
importantes da álgebra linear não se generalizam a corpos arbitrários e nem
a corpos ordenados arbitrários. Em muitos casos, torna-se necessário
considerar corpos ordenados PITAGÓRICOS (ou pitagorianos, se se desejar).
Talvez este seja o motivo pelo qual muitos matemáticos restrinjam o termo
"norma", na álgebra linear, a funções com valores reais não-negativos.
Exceto por essas generalizações relativas a corpos ordenados pitagóricos,
você conhece outras aplicações interessantes de "normas" como funções
tomando valores num corpo arbitrário?

Carlos César de Araújo
Matemática para Gregos & Troianos
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================