Re: [obm-l] Norma

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Carlos:

Exatamente. Pensei nisso hoje de manhã quando tomava banho....

Pra ser mais exato, eu estava pensando no caso em que dim(V) é infinita,
onde seria conveniente que o corpo, além de ordenado, fosse completo (e,
portanto, igual a R)

Por exemplo, se V = espaço das sequências infinitas de nos. reais, podemos
considerar o subespaço W das sequências infinitas cujas séries
correspondentes são absolutamente convergentes.

Nesse caso, se x = (x1,x2,x3,...) e y = (y1,y2,y3,...),
podemos definir uma norma em W pondo: N(x) = |x1| + |x2| + |x3| + ....
(idem pra N(y))

(N1) N(x) = 0 <==> x = (0,0,0,...)
(N2) N(ax) = |ax1| + |ax2| + |ax3| + .. = |a|N(x)
(N3) N(x+y) = |x1+y1| + |x2+y2| + ... <= |x1| + |y1| + |x2| + |y2| = N(x) +
N(y)  (dado que podemos rearranjar os termos de uma série absolutamente
convergente).

Se o corpo não for completo, vão existir elementos de W cuja norma não é
definida.

*****

O que é um corpo ordenado Pitagórico? Eu já ouvi falar em corpos ordenados
Arquimedianos - aqueles nos quais N (definido como o subconjunto do corpo
que obedece aos axiomas de Peano) é ilimitado superiormente, ou
equivalentemente, dados quaisquer a, b > 0, existe n em N tal que na > b.

*****

De fato, pra definição de norma fazer sentido, o corpo tem que ser ordenado.
Tirando os corpos contidos em R, o único outro corpo ordenado que eu conheço
(e que, por acaso, não é arquimediano) é o das funções racionais p(x)/q(x),
onde p(x) e q(x) pertencem a R[x] e q(x) <> 0. Assim, acho que dá pra
imaginar um espaço vetorial sobre este corpo que tenha uma norma com valores
neste corpo.  Quanto a uma "aplicação interessante" disso, por enquanto eu
vou ficar devendo...mas também gostaria de ver alguma.

Um abraço,
Claudio.


----- Original Message -----
From: "Carlos César de Araújo" <cca@gregosetroianos.mat.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, May 28, 2003 10:13 PM
Subject: Re: [obm-l] Norma


> Olá mais uma vez, Cláudio. Li com atenção as suas observações e
resoluções,
> especialmente a seguinte passagem:
>
>
> > > EXERCÍCIO. As condições (N2) e (N3) acarretam N(v)>=0 para todo v em
V.
> > >
> > (N2) com a = 0 ==> N(0) = N(0v) = 0N(v) = 0.
> > (N3) com v = -u ==> 0 = N(0) = N(u +(-u)) <= N(u) + N(-u)
> > (N2) com a = -1 ==> N(-u) = N(-1u) = |-1|N(u) = N(u)
> > Logo, 0 <= N(u) + N(u) = 2N(u) ==> 0 <= N(u) (desde que 2 <> 0 em F)
>
> O que me intrigou aqui foi a restrição "desde que 2 <> 0 em F".
Claramente,
> você deseja trabalhar com uma definição bastante geral de "norma" para
> espaços vetoriais ao substituir meu "IR" por um corpo F (qualquer) e
> ressaltar que F deve ter CARACTERÍSTICA zero. Todavia, observe: o seu
> raciocínio JÁ pressupõe uma relação de ORDEM <= em F, certo? Estaremos,
> então, trabalhando num corpo ordenado? Nesse caso, a condição "2 <> 0" é
> desnecessária, já que, num tal corpo, 2>1>0.
>
> Dos textos de álgebra linear tradicionais, os mais ambiciosos começam
> falando em K-espaços (onde K é QUALQUER corpo), mas, numa certa altura,
> começam a supor K=IR ou K=C. Devido à minha obsessão pela "lexicologia" da
> matemática, tenho notado que o termo "norma" aparece na literatura
aplicado
> a diferentes estruturas -- como em "anéis normados" --, mas no contexto
dos
> ESPAÇOS VETORIAIS, uma "norma" é, via de regra, uma função com valores em
> IR_+, mesmo quando o corpo de escalares é C. Digo isto mesmo sabendo da
> existência de uma ampla e interessante teoria dos corpos ordenados, a
qual,
> porém, foi desenvolvida por volta de 1920 basicamente por motivos
algébricos
> (tentativas de provar o 17o problema de Hilbert). Alguns dos teoremas mais
> importantes da álgebra linear não se generalizam a corpos arbitrários e
nem
> a corpos ordenados arbitrários. Em muitos casos, torna-se necessário
> considerar corpos ordenados PITAGÓRICOS (ou pitagorianos, se se desejar).
> Talvez este seja o motivo pelo qual muitos matemáticos restrinjam o termo
> "norma", na álgebra linear, a funções com valores reais não-negativos.
> Exceto por essas generalizações relativas a corpos ordenados pitagóricos,
> você conhece outras aplicações interessantes de "normas" como funções
> tomando valores num corpo arbitrário?
>
> Carlos César de Araújo
> Matemática para Gregos & Troianos
> www.gregosetroianos.mat.br
> Belo Horizonte, MG
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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