Re: [obm-l] Série

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Caros colegas,
   Para uma serie cuja discussao sobre convergencia e' mais delicada, vejam
o problema 5 da ultima OBM universitaria. Trata-se da serie 
Soma(n>=1)(1/(n.log(n).log log (n). ... . log log ... log(n))), onde os
logaritmos sao naturais, e o numero de termos no produto depende de n:
paramos no ultimo log log ... log(n) que e' maior ou igual a 1.
   Abracos,
            Gugu
 
>
>
>
>Compare com a integral de 1/(x*log(x)) = log(log(x)), que diverge.
>
>
>On Thu, 22 May 2003, Cláudio (Prática) wrote:
>
>> Caro Artur e demais colegas da lista:
>> 
>> E quanto à série SOMA(n>=2) 1/(n*log(n)). Converge ou diverge?
>> 
>> Um abraço,
>> Claudio.
>> 
>> 
>> ----- Original Message -----
>> From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@usa.net>
>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Sent: Tuesday, May 20, 2003 11:30 AM
>> Subject: [obm-l] Re: [[obm-l] Série]
>> 
>> 
>> > > Esse é um problema de um amigo meu. Não entendo nada de séries, mas ele
>> > > pediu pra mandar e ver se alguém consegue resolver.
>> > > O problema é determinar se a série e^(-log(x)^2) é convergente ou
>> > > divergente.
>> >
>> > Bom, temos na realidade a serie Soma (n=1, infinito)e^(-log(n)^2) (vou
>> usar n,
>> > porque n eh tradicionalmente empregado para numeros naturais -- nao que
>> isso
>> > faca qualquer diferenca...) Estou interpretando log como o logaritmo
>> natural.
>> > Temos que e^(-log(n)^2) [e^log(n)]^[-log(n)] = n^[-log(n)] = 1/[n^log(n)].
>> > Para n>=3, temos que log(n)>=log(3)>1. Sendo p=log(3), temos entao, para
>> n>=3,
>> > que 1/[n^log(n)] <= 1/(n^p), ocorrendo igualdade apena para n=3.  Como os
>> > termos da serie pedida sao todos positivos, podemos compara-la com a serie
>> > Soma (n=3, infinito) 1/n^p. Como p>1, esta serie converge (este eh um fato
>> bem
>> > conhecido da Analise) eh, portanto, Soma (n=3, infinito)e^(-log(n)^2)
>> tambem
>> > converge. Logo, o mesmo se verifica para Soma (n=1,
>> infinito)e^(-log(n)^2).
>> > A determinacao do limite, entretanto,nao parece um problema trivial
>> > Artur
>> >
>> 
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>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> =========================================================================
>> 
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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