[obm-l] RE: [obm-l] Série

["Artur Costa Steiner" <artur_steiner@xxxxxxx>]

Esta serie diverge. Observemos que a funcao f(x) = 1/xln(x) eh
estritamente decrescente e positiva para n>=2. Em razao disto, a
convergencia ou divergencia da serie estah atrelada aa convergencia ou
divergencia da integral de 2 a infinito de dx/(x ln x). Esta funcao tem
primitiva ln ln (x) de modo que a integral em questao diverge. Logo, a
serie tambem diverge.
[Artur Costa Steiner] Um abraco
Artur

>Caro Artur e demais colegas da lista:
>
>E quanto à série SOMA(n>=2) 1/(n*log(n)). Converge ou diverge?
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>
>----- Original Message -----
>From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@usa.net>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Tuesday, May 20, 2003 11:30 AM
>Subject: [obm-l] Re: [[obm-l] Série]
>
>
>> > Esse é um problema de um amigo meu. Não entendo nada de séries, mas
ele
>> > pediu pra mandar e ver se alguém consegue resolver.
>> > O problema é determinar se a série e^(-log(x)^2) é convergente ou
>> > divergente.
>>
>> Bom, temos na realidade a serie Soma (n=1, infinito)e^(-log(n)^2)
(vou
>usar n,
>> porque n eh tradicionalmente empregado para numeros naturais -- nao
que
>isso
>> faca qualquer diferenca...) Estou interpretando log como o logaritmo
>natural.
>> Temos que e^(-log(n)^2) [e^log(n)]^[-log(n)] = n^[-log(n)] =
>1/[n^log(n)].
>> Para n>=3, temos que log(n)>=log(3)>1. Sendo p=log(3), temos entao,
para
>n>=3,
>> que 1/[n^log(n)] <= 1/(n^p), ocorrendo igualdade apena para n=3.
Como os
>> termos da serie pedida sao todos positivos, podemos compara-la com a
>serie
>> Soma (n=3, infinito) 1/n^p. Como p>1, esta serie converge (este eh um
>fato
>bem
>> conhecido da Analise) eh, portanto, Soma (n=3, infinito)e^(-log(n)^2)
>tambem
>> converge. Logo, o mesmo se verifica para Soma (n=1,
>infinito)e^(-log(n)^2).
>> A determinacao do limite, entretanto,nao parece um problema trivial
>> Artur
>>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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