[obm-l] Série

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Artur e demais colegas da lista:

E quanto à série SOMA(n>=2) 1/(n*log(n)). Converge ou diverge?

Um abraço,
Claudio.


----- Original Message -----
From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@usa.net>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, May 20, 2003 11:30 AM
Subject: [obm-l] Re: [[obm-l] Série]


> > Esse é um problema de um amigo meu. Não entendo nada de séries, mas ele
> > pediu pra mandar e ver se alguém consegue resolver.
> > O problema é determinar se a série e^(-log(x)^2) é convergente ou
> > divergente.
>
> Bom, temos na realidade a serie Soma (n=1, infinito)e^(-log(n)^2) (vou
usar n,
> porque n eh tradicionalmente empregado para numeros naturais -- nao que
isso
> faca qualquer diferenca...) Estou interpretando log como o logaritmo
natural.
> Temos que e^(-log(n)^2) [e^log(n)]^[-log(n)] = n^[-log(n)] = 1/[n^log(n)].
> Para n>=3, temos que log(n)>=log(3)>1. Sendo p=log(3), temos entao, para
n>=3,
> que 1/[n^log(n)] <= 1/(n^p), ocorrendo igualdade apena para n=3.  Como os
> termos da serie pedida sao todos positivos, podemos compara-la com a serie
> Soma (n=3, infinito) 1/n^p. Como p>1, esta serie converge (este eh um fato
bem
> conhecido da Analise) eh, portanto, Soma (n=3, infinito)e^(-log(n)^2)
tambem
> converge. Logo, o mesmo se verifica para Soma (n=1,
infinito)e^(-log(n)^2).
> A determinacao do limite, entretanto,nao parece um problema trivial
> Artur
>

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