Re: [obm-l] Série

[Salvador Addas Zanata <sazanata@xxxxxxxxxx>]

Compare com a integral de 1/(x*log(x)) = log(log(x)), que diverge.


On Thu, 22 May 2003, Cláudio (Prática) wrote:

> Caro Artur e demais colegas da lista:
> 
> E quanto à série SOMA(n>=2) 1/(n*log(n)). Converge ou diverge?
> 
> Um abraço,
> Claudio.
> 
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@usa.net>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Tuesday, May 20, 2003 11:30 AM
> Subject: [obm-l] Re: [[obm-l] Série]
> 
> 
> > > Esse é um problema de um amigo meu. Não entendo nada de séries, mas ele
> > > pediu pra mandar e ver se alguém consegue resolver.
> > > O problema é determinar se a série e^(-log(x)^2) é convergente ou
> > > divergente.
> >
> > Bom, temos na realidade a serie Soma (n=1, infinito)e^(-log(n)^2) (vou
> usar n,
> > porque n eh tradicionalmente empregado para numeros naturais -- nao que
> isso
> > faca qualquer diferenca...) Estou interpretando log como o logaritmo
> natural.
> > Temos que e^(-log(n)^2) [e^log(n)]^[-log(n)] = n^[-log(n)] = 1/[n^log(n)].
> > Para n>=3, temos que log(n)>=log(3)>1. Sendo p=log(3), temos entao, para
> n>=3,
> > que 1/[n^log(n)] <= 1/(n^p), ocorrendo igualdade apena para n=3.  Como os
> > termos da serie pedida sao todos positivos, podemos compara-la com a serie
> > Soma (n=3, infinito) 1/n^p. Como p>1, esta serie converge (este eh um fato
> bem
> > conhecido da Analise) eh, portanto, Soma (n=3, infinito)e^(-log(n)^2)
> tambem
> > converge. Logo, o mesmo se verifica para Soma (n=1,
> infinito)e^(-log(n)^2).
> > A determinacao do limite, entretanto,nao parece um problema trivial
> > Artur
> >
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================