[obm-l] Re: [obm-l] Série

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Boa! Muito obrigado, Salvador. Tinha me esquecido do teste da integral.

Eu tinha na cabeça o teorema dos números primos, que diz que o n-ésimo primo
(Pn) é equivalente a n*log(n) (no sentido de que lim Pn/(n*log(n)) = 1), e
portanto, dado que SOMA(n>=1) (1/Pn) diverge, eu imaginava que SOMA(n>=2)
1/(n*log(n)) também fosse divergente, mas queria uma demonstração mais
simples.

Isso quer dizer que SOMA(n>=2) 1/(n*(log(n))^k), com k > 1 é convergente,
pois:
INTEGRAL 1/(x*(log(x))^k) = -1/[(k-1)*(log(x))^(k-1)] converge

*****

Isso me faz lembrar do caso particular de um problema que o Gugu discutiu lá
no IMPA.

Dada uma sequencia (a(n)) de termos positivos, tal que SOMA a(n) converge,
sempre irá existir uma sequencia de termos positivos (digamos b(n)) tal que:
i) SOMA b(n) converge
e
ii) lim(n->infinito) a(n)/b(n) = 0

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Salvador Addas Zanata" <sazanata@ime.usp.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, May 22, 2003 4:02 PM
Subject: Re: [obm-l] Série


>
>
> Compare com a integral de 1/(x*log(x)) = log(log(x)), que diverge.
>
>
> On Thu, 22 May 2003, Cláudio (Prática) wrote:
>
> > Caro Artur e demais colegas da lista:
> >
> > E quanto à série SOMA(n>=2) 1/(n*log(n)). Converge ou diverge?
> >
> > Um abraço,
> > Claudio.
> >
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@usa.net>
> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Sent: Tuesday, May 20, 2003 11:30 AM
> > Subject: [obm-l] Re: [[obm-l] Série]
> >
> >
> > > > Esse é um problema de um amigo meu. Não entendo nada de séries, mas
ele
> > > > pediu pra mandar e ver se alguém consegue resolver.
> > > > O problema é determinar se a série e^(-log(x)^2) é convergente ou
> > > > divergente.
> > >
> > > Bom, temos na realidade a serie Soma (n=1, infinito)e^(-log(n)^2) (vou
> > usar n,
> > > porque n eh tradicionalmente empregado para numeros naturais -- nao
que
> > isso
> > > faca qualquer diferenca...) Estou interpretando log como o logaritmo
> > natural.
> > > Temos que e^(-log(n)^2) [e^log(n)]^[-log(n)] = n^[-log(n)] =
1/[n^log(n)].
> > > Para n>=3, temos que log(n)>=log(3)>1. Sendo p=log(3), temos entao,
para
> > n>=3,
> > > que 1/[n^log(n)] <= 1/(n^p), ocorrendo igualdade apena para n=3.  Como
os
> > > termos da serie pedida sao todos positivos, podemos compara-la com a
serie
> > > Soma (n=3, infinito) 1/n^p. Como p>1, esta serie converge (este eh um
fato
> > bem
> > > conhecido da Analise) eh, portanto, Soma (n=3, infinito)e^(-log(n)^2)
> > tambem
> > > converge. Logo, o mesmo se verifica para Soma (n=1,
> > infinito)e^(-log(n)^2).
> > > A determinacao do limite, entretanto,nao parece um problema trivial
> > > Artur
> > >
> >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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