[obm-l] Re: [[obm-l] Série]

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxx>]

> Esse é um problema de um amigo meu. Não entendo nada de séries, mas ele
> pediu pra mandar e ver se alguém consegue resolver.
> O problema é determinar se a série e^(-log(x)^2) é convergente ou
> divergente.

Bom, temos na realidade a serie Soma (n=1, infinito)e^(-log(n)^2) (vou usar n,
porque n eh tradicionalmente empregado para numeros naturais -- nao que isso
faca qualquer diferenca...) Estou interpretando log como o logaritmo natural.
Temos que e^(-log(n)^2) [e^log(n)]^[-log(n)] = n^[-log(n)] = 1/[n^log(n)].
Para n>=3, temos que log(n)>=log(3)>1. Sendo p=log(3), temos entao, para n>=3,
que 1/[n^log(n)] <= 1/(n^p), ocorrendo igualdade apena para n=3.  Como os
termos da serie pedida sao todos positivos, podemos compara-la com a serie
Soma (n=3, infinito) 1/n^p. Como p>1, esta serie converge (este eh um fato bem
conhecido da Analise) eh, portanto, Soma (n=3, infinito)e^(-log(n)^2) tambem
converge. Logo, o mesmo se verifica para Soma (n=1, infinito)e^(-log(n)^2).
A determinacao do limite, entretanto,nao parece um problema trivial
Artur


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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